值得一看：神奇的“缺8数”

 

12345679，这个数里缺少8，我们把它称为“缺8数”。

开始，我以为这“缺8数”只有“清一色”的奇妙。谁知经过一番资料的查找，竟发现它还有许多让人惊讶的特点。

一，清一色  

 

菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是8，却是7。

于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜欢7吗？拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。”

接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿时，777777777映入了马科斯先生的眼帘。

“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是一碗水端平，对所有的数都一视同仁的：

你只要分别用9的倍数（9，18……直到81）去乘它，则111111111，222222222……直到999999999都会相继出现。

12345679×9 =111111111
12345679×18=222222222

12345679×27=333333333

12345679×36=444444444

12345679×45=555555555

12345679×54=666666666
12345679×63=777777777

12345679×72=888888888

12345679×81=999999999

二，三位一体 

 

“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。

12345679×12=148148148
12345679×15=185185185

12345679×21=259259259

 

12345679×30=370370370

12345679×33=407407407

12345679×36=444444444

 

12345679×42=518518518

12345679×48=592592592

12345679×51=629629629

12345679×57=703703703

12345679×78=962962962
12345679×81=999999999
    

这里所得的九位数全由“三位一体”的数字组成，非常奇妙！

三，轮流“休息” 

 

当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：

乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。

另外，在乘积中，缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。

 

先看一位数的情形：

12345679×1=12345679（缺0和8）
12345679×2=24691358（缺0和7）
12345679×4=49382716（缺0和5）
12345679×5=61728395（缺0和4）
12345679×7=86419753（缺0和2）
12345679×8=98765432（缺0和1）
    

上面的乘积中，都不缺数字3，6，9，而都缺0。缺的另一个数字是8,7,5,4,2,1，且从大到小依次出现。

让我们看一下乘数在区间 [ 10～17 ] 的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。

12345679×10=123456790（缺8）
12345679×11=135802469（缺7）
12345679×13=160493827（缺5）
12345679×14=172869506（缺4）
12345679×16=197530864（缺2）
12345679×17=209876543（缺1）

以上乘积中仍不缺3，6，9，但再也不缺0了，而缺少的另一个数与前面的类似——按大小的次序各出现一次。

乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！

 

乘数在[19～26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。

 

12345679×19=234567901（缺8）
12345679×20=246913580（缺7）
12345679×22=271604938（缺5）
12345679×23=283950617（缺4）
12345679×25=308641975（缺2）
12345679×26=320987654（缺1）

 

一以贯之  当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在。

 

再看几个例子：

（1）乘数为9的倍数

12345679×243=2999999997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。 又如：

 

12345679×108=1333333332 （乘积中最左边的一个数1加到最右边的2上，恰好等于3）  
12345679×117=1444444443 （乘积中最左边的一个数1加到最右边的3上，恰好等于4）   
12345679×171=2111111109 （乘积中最左边的一个数2加最右边的“09”，结果为11）

（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数

12345679×84=1037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。

（3）乘数为3k+1或3k+2型

12345679×98=1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2；

但据上所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数。

而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。

四，走马灯  

 

冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变，表现为周期性的重复。

“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。

实际上，当乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。

深入的研究显示，当乘数成一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。

现在，我们又把乘数依次换为10，19，28，37，46，55，64，73（它们组成公差为9的等差数列）：
    

12345679×10=123456790
12345679×19=234567901
12345679×28=345679012
12345679×37=456790123
12345679×46=567901234
12345679×55=679012345
12345679×64=790123456
12345679×73=901234567
    

以上乘积全是“缺8数”！数字1，2，3，4，5，6，7，9像走马灯似的，依次轮流出现在各个数位上。

五，回文结对  携手同行 

 

“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：

12345679×4=49382716
12345679×5=61728395

前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数吗？

（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。）

这样的“回文结对，携手并进”现象，对13、14、31、32等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。

 

例如：

 

12345679×13=160493827
12345679×14=172839506

 

12345679×22=271604938
12345679×23=283950617

 

12345679×67=827160493
12345679×68=839506172

六，遗传因子  

 

“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特征。

所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。

例如，506172839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。
我们看到，506172839×3=1518518517。

 

将乘积中最左边的数1加到最右边的7上之后，得到8。如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。

 

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“缺8数”还有更加神奇壮观的回文现象。

 

我们继续做乘法：
    

12345679×9=111111111

12345679×99=1222222221
12345679×999=12333333321
12345679×9999=123444444321
12345679×99999=1234555554321
12345679×999999=12345666654321
12345679×9999999=123456777654321
12345679×99999999=1234567887654321
12345679×999999999=12345678987654321
    

奇迹出现了！等号右边全是回文数（从左读到右或从右读到左，同一个数）。

而且，这些回文数全是“阶梯式”上升和下降，神奇、优美、有趣！

 

因为12345679=333667×37，所以“缺8数”是一个合数。

“缺8数”和它的两个因数333667、37，这三个数之间有一种奇特的关系。

 

一个因数333667的首尾两个数3和7、就组成了另一个因数37；

而“缺8数”本身数字之和1+2+3+4+5+6+7+9也等于37。

可见“缺8数”与37天生结了缘。

 

更令人惊奇的是，把1/81化成小数，这个小数也是“缺8数”：
  

1/81=0.012345679012345679012345679……
    

为什么别的数字都不缺，唯独缺少8呢？

原来1/81=1/9×1/9=0.1111…×0.11111….

这里的0.1111…是无穷小数，在小数点后面有无穷多个1。
    

“缺8数”的奇妙性质，集中体现在大量地出现数学循环的现象上，而且这些循环非常有规律，令人惊讶。

 “缺8数”的奇特性质，早就引起了人们的浓厚兴趣。而它其中还有多少奥秘，人们一定会把它全部揭开。

 

“缺8数”太奇妙了，让我这个对数学没啥兴趣的人也忍不住要大加赞美啊！

 

附：神奇的数字

1×8 + 1= 9
12×8 + 2= 98
123×8 + 3= 987
1234×8 + 4= 9876
12345×8 + 5= 98765
123456×8 + 6= 987654
1234567×8 + 7= 9876543
12345678×8 + 8= 98765432
123456789×8 + 9= 987654321

 

1×9 + 2= 11
12×9 + 3= 111
123×9 + 4= 1111
1234×9 + 5= 11111
12345×9 + 6= 111111
123456×9 + 7= 1111111
1234567×9 + 8= 11111111
12345678×9 + 9= 111111111
123456789×9 +10= 1111111111

 

9×9 + 7= 88
98×9 + 6= 888
987×9 + 5= 8888
9876×9 + 4= 88888
98765×9 + 3= 888888
987654×9 + 2= 8888888
9876543×9 + 1= 88888888
98765432×9 + 0= 888888888

 

1×1= 1
11×11= 121
111×111= 12321
1111×1111= 1234321
11111×11111= 123454321
111111×111111= 12345654321
1111111×1111111= 1234567654321
11111111×11111111= 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321