毕达哥拉斯学派的人们非常注意数的形象美，他们把数按照可用石子摆成的形象来分类，比如三角数, 四角数(正方形数),五角数……将物品以三角形样式排列，我们会得到一串数字1,3,6,10,...,我们将这些数字称为"三角数"。毕氏学派及其崇拜者还研究了多角数的美妙性质，比如他们发现：每个四角数是两个相继三角数之和：第n—1个三角数与第n个k角数之和为第n个k+1角数。
尔后的数学家们，也一直注意着这种数学形式美，且从中有所发现．十七世纪初，法国业余数学家费尔马在研究多角数性质时提出猜测：每个正整数均可至多用三个三角数和、四个四角数和、……、k个k角数和表示．
当高斯证明了“每个自然数均可用不多于三个三角数之和表示”后，在1796年7月10日的日记上写着：EГPHKA！ num=△+△+△．这里“EГPHKA”是希腊语意为“找到了”，这句话正
是当年阿基米德在浴室里发现浮力定律后，赤着身子跑到希拉可夫大街上狂喊的话语，这里高斯引用它，可见他的欣喜心情．
欧拉从1730年开始研究自然数表为四角数和问题，十三年之后仅找到一个公式:可以表为四个完全平方数和的两个自然数之积仍可用四个完全平方数和表示．1770年，拉格朗日利用欧拉的等式证明了自然数表为四角数和的问题．1773年欧拉也给出一个更简单的证明．1815年法国数学家哥西证明了“每个自然数均可表为k个k角数和”的结论．问题到了这儿并没有完结，华林在1770年出版的《代数沉思录》中写道：每一个整数或者是一个立方数，或者是至多9个立方数之和；另外，每一个整数或者是一个四次方数，或者是至多19个四次方数之和；……一般地，每个整数可以表成至多r个k次(幂)方数之和，其中r依赖于k．这个问题称为“华林问题”，该问题至今仍在有人研究，这个例子也告诉人们，数学正是在探求美的真谛中发展的，许多新的数学分支正因此而出现．
提到这个问题，我们还想谈一谈与之问题类似的一个素数表为两平方和问题．1640年12月25日，法国业余数学家费尔马写信给麦森提出：任意 4k+1 型素数均可用两个整数的平方和表示．(双平方和定理)1754年，数学大师欧拉给出了完整的证明．然而4k+3型素数却不能只用两个整数的平方和表示、这只须注意到：(2m)2≡0(mod4)，(2m+1)2≡1(mod4)，这样任何两整数平方和被4除后余数只能是：0+0、0+1、1+1即0、1、2．换句话说：4k+3型的整数不能用两整数平方和表出．它至少要用几个整数的平方和表示问题，我们上面已给介绍过：答案是至少四个．奇妙的是：1977年L．C．Larson利用国际象棋中“n—后问题”方法，给出“双平方和定理”又一个精彩的证明．(这一点，1918年G．Polya就认为“n—后问题”与费尔马“双平方和定理”有联系，但他却未能指出两者到底有何联系？)这个事实再次为数学本身的和谐提供佐证——数学可以揭示那些看上去风马牛不相及的事物内在的联系．
幻方——一种神奇的数学游戏，也是人们追求的形式美的写照，关于它有许多许多有趣的传说．据载伏羲氏王天下时，黄河里跃出一匹龙马，马背上驮了一幅图，上面有黑白点五十五个，用直线连成十数，后人称之为“河图”．又传夏禹时代，洛水中浮出一只神龟，背上有图有文，图中有黑白点四十五个，用直线连成九数，后人称它为“洛书”．两图中黑点组成的数都是偶数(古称阴数)，白点表示的数是奇数(古称阳数)．
“洛书”译成今天的符号，便是一个“幻方”，它有三行三列故称“三阶幻方”．“幻方” 国外又称为“魔方”，我国南宋时期的数学家杨辉称它为“纵横图”．杨辉曾给出五～十阶的纵横图．由于幻方中蕴含着奇妙的数学美，从而引起了人们对于幻方的偏爱：它不仅出现在书籍上，也出现在名画中(如十五世纪著名画家A．丢勒的名版画《忧郁症》中就有一个四阶幻方，且幻方中最末一行中间两数组成1514，即表示画的创作年代)，甚至认为幻方有奇异的魔力能驱妖避邪，因而常刻成护身符佩戴．喜欢幻方的人不仅是数学家(如欧拉)、还有物理学家、政治家(如富兰克林)；不仅有大人，也有孩子(目前最大阶数的幻方——105阶幻方的制作者是纽约一
位十三岁的儿童逊达)．此外，人们还制造了许多有着奇特性质的幻方，我们来看看美国著名电学家富兰克林制作的八阶幻方： (1)每半 行、半列上各数和为130(幻和是260)；(2)幻方角上的四个数与最中心四个数和等于幻和值260；(3)从16到10，再从23到17所成折线“∧”上八个数字之和也为260；且平行这种折线的诸折线“∧”上的八个数字和也为260．美国的巴尔曾给出一个七阶幻方：它的幻和是175，且下右图所示每两条平行于主对角线的相应直线上数和也是175，这种幻方称为“泛对角线幻方”(上述两直线称为泛对角线)．此外，人们还
制作一些特殊形式的幻方，比如：质数幻方，即幻方中所有数均为质数．和积幻方，幻方每一行和、列和、对角线和相等；且每一行积(各数之积)、列积、对角线积均相等 ，又称“加-乘幻方”．二次幻方，也就是说本身是一个幻方，同时幻方中各数的平方仍组成一个幻方．全对称幻方，幻方中的数字对于中心数有对称性质，与中心数等距的两数之和总相等．美国的一位铁路职员亚当斯花了四十七年业余时间找到了一个幻六角形(即将1～19填入右图六角形中各圆圈处，使图中每条直线上的诸数和皆相等，且和为38)，后来人们发现：这种幻六角形是唯一的．
人们不仅喜欢新幻方的制作，同时也热衷于某些古幻方的开拓与研究，比如前面我们提到的“洛书”幻方上，先在右边添上一列(第一列)，再在其下面添上一行(第一行)，这便得出一个4×4的数阵．我们依次取出其中的2×2小方块，它们分别是：其中方格下面的数为该方格中全部数字和，请注意：这些数和恰好是16～24这九个连续自然数，它们既无重复、又无遗漏．再者：若把“洛书”幻方中每行数字组成一个三位数，同时写出它们的逆序数，你将会发现：不仅这些数和相等，它们的平方和也相等492+357+816=294+753+618，4922+3572+8162=2942+7532+6182．这种性质对于由幻方中列数字组成的三位数来讲照样成立：276+951+438=672+159+834，2762+9512+4382=6722+1592+8342．更为有趣的是：若把幻方“双写”(即重抄一遍置于其下)，有上述幂等和性质：456+312+897=654+213+798，4562+3122+8972=6542+2132+7982；同时还有：258+714+693=852+417+396，2582+7142+6932=8522+4172+3962．
这些奇妙的性质无疑给人带来新奇和愉悦，难怪人们为何总是孜孜以求，在探索、在寻觅、在发现、……人们不仅喜欢幻方，人们也喜欢与之类同的一些数阵，比如下面就是其中一例：将1～9这九个数字填入左下图圆圈中，使每条直线和每个三角形上的数字和都相等，答案有两个．
“完美”还常常体现在其他方面，比如正方形分割等．“完美正方形”是指一个可被分割成有限个大小彼此不相同的小正方块的正方形． 1930年，前苏联数学家鲁金曾认为这种完美正方形不存在．1939年斯普拉格根据莫伦构造了完美矩形(一个矩形它可被分割成若干个大小彼此不同的正方形)的事实，又添上两个正方块而构造出第一个完美正方形，它由55个小正方块组成，我们称它为55阶(它的面积单位是4205)．几个月后，剑桥大学三一学院的四位学生构造了一个28阶的完美正方形(它的面积为1015单位)．1948年，威尔科克斯构造出24阶完美正方形，这在当时是阶数最低的，且这个纪录一直保持到1978年(迄今为止，人们已构造出2000多个24阶完美正方形)．1967年，威尔森构造成功25阶、26阶完美正方形．由于电子计算的使用和寻找方法的改进，七十年代末，荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷构造出一个21阶的完美正方形，且证明不存在比这个阶数更少的完美正方形(它不仅阶数最低，同时数字也更简单(较小)，且构造上有许多优美的特性，比如2的某些方幂21、22、23均在一条对角线上等)．
这儿我们想顺便指出一个与该问题类同的：“用边长为1、2、3、…的正方形能否铺满整个平面？”的问题．借助于斐波那契数列可以证明：边长为不同自然数的正方形可以铺满平面的四分之三以上．用广义斐氏数列1、2、3、5、…为边长的正方形可铺满平面的第四象限；用广义斐氏数列(4)、(6)、9、15、24、…为边长的正方形可铺满坐标平面的第一象限；用广义斐氏数列7、11、18、29、…为边长的正方形可铺满坐标平面的第三象限；没有在上述三个数列中出现的自然数4、6、10、12、14、…等为边的正方形可放在坐标平面的第二象限．这样，以1、2、3、…为边长的正方形至少可铺满平面的四分之三.除了“完美正方形”之外，还有所谓“完美矩形”、“完美三角形”等．把矩形分割成规格不同的小正方形问题称为“完美矩形问题”，其实这个问题的研究产生于完美正方形之前(一开始人们试图寻找两个构造不同的完美矩形去拼成一个完美正方形)．1940年Brooks等人证明了：完美矩形最低阶数为9，且它仅有两种。用不同规格的正三角形去拼成一个大正三角形问题称为“完美三角形问题”，这个问题似乎更棘手．
“数”与“形”的结合，历来就为数学家们推崇，“形”的直观常可以给出“数”的性质以最生动说明或诠释，反之，数的简练又常使图形中某些难以表达的性质得以展现，解析几何学的建立，正是这种结合的最好例子．它的诞生也是人们追求的另一种美感——形象美的结果．我们再来看一个例子．公元一世纪以前，人们就知道了自然数前n项和、二次方幂和和三次方幂和公式(尼科梅切斯公式)，关于自然数四次方幂和公式，十二世纪由阿拉伯人得到．至于自然数更高次方幂和的一般公式，是由荷兰数学家雅谷·伯奴利在两个世纪前给出的．自然数的某些方幂和有着直观的几何解释，但一些自然数高次方幂和的几何直观性就不那么强了．
说到这儿，自然使我们想起我们曾在“符号美”一节介绍的尼科梅切斯公式的几何表示——图形符号表示．这其实也是数学形式美的一种体现．当然，这儿所说的形式美，是指图形的简洁、明快，且对公式的喻意又能那么直观、形象、生动地表现．
“数论”中的堆垒问题，我们在前面章节中已有阐述，比如：每个不小于6的偶数都是两个奇质数之和(哥德巴赫猜想)；每个自然数都是三个三角数、四个四角(平方)数、五个五角数、…、k个k角数和；每个4k+1型质数都是两个完全平方数和(费尔马定理)；每个自然数都是四个完全平方数、九个立方数(从某数起只须八个、七个立方数)、十九个四次方数、……之和(华林问题)；………这儿均是将数表示成某些特殊形式的数和(也是一种形式美！)，这个问题早在古代埃及就已为人们注意到了，不过那儿是进行分数运算．
单位分数(分子是1的分数)又称埃及分数，这是古埃及人最早用来进行分数计算的，他们那时是先将分数化成单位分数，然后再去运算．然而单位分数作为分数的“堆垒”基础，同样有着许多魅人的性质，也引起过人们的极大兴趣．1202年意大利的斐波那契证明了：任何真分数均可以表示成有限个单位分数之和．(它的详细证明是1880年由英国数学家薛尔维斯特首先给出的)四百年之后，人们对于上述结论再度深入研究时，又有新的发现．1963年有人证明了：任何整数均可表示为分母是某个等差(算术)数列中若干项的埃及分数之和．又过了十年(1976年)人们找到了把自然数1表示成分母是奇数的且项数最少的埃及分数和的表达式：另外还有四种表示法，它们的前六项与上面式右前六项相同，其余的项分别为：1／21+1／135+1／10395；1／21+1／165+1／693；1／21+1／231+1／315；1／33+1／45+1／385．
数学中函数的级数展开式，从形式上看显然富有美感，从数学意义上讲更是有其深刻的内涵．这些表示往往是由无限形式去表达有限，反过来的问题则是用有限表示无限，比如求数列极限、求无穷级数和等．在计算上如此，在论证方法上也是如此．应该看到数学归纳法正是利用有限步骤去论证无限形式的结论的一种有效方法．
说到用“有限”去表现“无限”，这使我们想起流传于我国的一种数学游戏——七巧板，它是用极其简练的数学形式描述自然界事物形象的一种方法．早在一千多年以前，我国就出现了一种广泛流传于民间的数学游戏——七巧板．它是我们的祖先运用面积的分割和拼补的方法，以及有相同组成成份的平面图形等积的原理研究并创造出来的．用它可以拼出形状不同的人和物体的形象(插图就是我国古代数学游戏中，用七巧板拼成的图形)．它对于锻炼人们的智力和培养人们的思维能力是十分有益的；甚至在今天这种数学游戏中仍具有很高的品位．
七巧板是由尺寸互相关联的一对大直角三角形、一对小直角三角形、一个中直角三角形、一个正方形和一个平行四边形所组成的．清朝人王其源在他编的“七巧八分图”中对七巧板的制法做了叙述，它写道：“考七叶之制，其法出于勾股，分寸以大者为定．而中者合大者之勾股为弦，小者合中者之勾股而成弦，方者合小者之勾股而成径，斜者合中者之勾股而成欹，又合小者之勾股而成圭．”这里“欹”指组成七巧板的那个平行四边形的长边，“圭”指它的短边．
从上面这段话，我们可以得到“七巧板”的制做步骤，现说明如下：
1．在所选材料(如薄纸板)上画出一个正方形ABCD，并做出它的对角线AC．(如图5)
2．分别找出AB和BC的中点E、F，连结EF(如图6)．
3．过D做EF的垂线使之与AC相交于H，与EF相交G(如图7)．
4．过G做GL∥FC，过E做EK∥GH．
最后，沿图中所做的线段依次进行分割，即得七巧板．十九世纪最流行的谜题之一就是七巧板。七巧板的流行大概是由于它结构简单、操作简便、明白易懂的缘故。你可以用七巧板随意地拼出你自己设计的图样，但如果你想用七巧板拼出特定的图案，那就会遇到真正的挑战。正是七巧板的乐趣所在。七巧板那简单的结构很容易使人误认为要解决它的问题也很容易，其实这种想法是片面的。用七巧板可以拼出1600种以上的图案，其中有些是容易拼成的，有一些却相当诡秘，还有一些则似是而非充满了矛盾。“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型。明、清两代在民间广泛流传，清《冷庐杂识》中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之。”“七巧图”不知何时传到国外，受到他们的欢迎与重视，李约瑟说它是“东方最古老的消遣品”之一，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》。美国作家埃德加·爱伦坡特竟用象牙精制了一副七巧板。法国拿破伦在流放生活中也曾用七巧板作为消遣游戏。谁能想象到七巧板居然会跟拿破仑·波拿巴、亚当、杜雷、爱伦坡特以及卡洛尔等人发生关系？实际上他们全都是七巧板的狂热爱好者。
关于七巧板的名称有许多原始的说法：1．来自被废弃的英语词“trangram”：奇怪形状的小玩意儿；2．来自词Tang（中国的唐朝）带后缀—gram（希腊文意为作品）；3．来自术语“tanka”，意即沿海船上人家。他们在运输摆渡中除了供应食物、浣洗衣物外，还提供一些娱乐方面的招待。其中就有这种由七块板组成的中国谜题。大约七巧板一词（Tangram）就是从tanka game（船上人家的游戏）演化来的。以上这几种说法似乎都有一定的道理。大概是原始七巧板的浓厚的趣味和它的娱乐释义，激发了美国著名谜题专家山姆·洛依德的文学创意。1903年，61岁高龄的他，在《第八茶皮书》中写道：“按百科全书的介绍，七巧板游戏渊源极为古老。在中国，它作为一种消遣性的玩物，其历史可以追溯到4000年前……”七巧板在中国的发展流程大概是这样的，先是宋朝的燕几图→演化成明朝的蝶翅几→再者清初到现代的七巧板。燕几图 - 七巧板本来的面目是「燕几图」，燕几的意思是招呼客人宾宴用的案几，引发这个点子的人是北宋进士黄伯思，他先设计了六件长方形案几，於宴会时能视宾客多寡适当调整位置，随后又增加一件小几，七件案几全拼在一起，会变成一个大长方形，分开组合可变化无穷。已和现代七巧板相差无几了。蝶翅几 - 后来，明朝戈汕依照「燕几图」的原理，又设计了「蝶翅几」，由十三件不同的三角形案几而组成的，拼在一起是一只蝴蝶展翅的形状，分开后则可拼成出一百多种图形。七巧板 - 现代的七巧板就是在「燕几图」与「蝶翅几」的基础上加以发展出来的。七巧板的好处与用处简直是多不胜数，以下是七巧板部分的好处与用处：形状概念、视觉分辨、认智技巧、视觉记忆、手眼协调、鼓励开放、扩散思考、创作机会。无论在现代或古代，七巧板都是用以启发幼儿智力的良好伙伴。能够把幼儿对实物与形态之间的桥梁连接起来，培养幼儿的观察力、想像力、形状分析及创意逻辑上都有巨大的发展空间。现在被家长们广泛采用来帮助小孩学习基本逻辑关系和数学概念。可以帮助孩子认识各种几何图形、数字、认识周长和面积的意义，了解毕氏定理。七巧板还可以教导小朋友辨认颜色，引导小朋友领悟图形的分割与合成，进而增强小朋友的手部智能、耐性和观察力。亦可用以说故事，将数十幅七巧板图片连成一幅幅的连惯图画，即可当漫画般说故给小朋友听。先拼出数款猫、几款狗、一间屋，即可说出一美妙动人的故事。
下面我们举几个数字运算中的“巧式”，它的巧妙在于其形式，美也在于其形式：
81=(8+1)＾2； 1395=13·95；153=13+53+33(370、371、407三数也有此性，它们被称为“水仙花数”)；
1634=14+64+34+44(8208、9474亦然)；54748＝55+45+75+45+85(4150、4151、 92727、 93084、194979也有此性质)；
548834=56+46+86+86+36+46；2427=21+42+23+74；387420489＝387-420-489；
94-84-74=34-24-14；145=1！+4！+5！；40585=4！+0！+5！+8！+5！；……
这些形式上的数字美必然会吸引不少人去研究、去探索。
