椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(4)

椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(4)

杨志明

61．到椭圆（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.

62．到椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.

63．到椭圆（ a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.

64．已知P是椭圆（ a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.

65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

66．设椭圆（ a＞b＞0）长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于,则

（1）.（2）四边形面积的最小值是.

67．已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

68．OA、OB是椭圆（ a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.

69．是椭圆（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

(且).

70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F₁、F₂到直线的距离分别为d₁、d₂，那么（1），且F₁、F ₂在 同侧直线L和椭圆相切.（2），且F₁、F₂在L同侧直线 和椭圆相离，（3），或F₁、F₂在L异侧直线L和椭圆相交.

71．AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，是椭圆上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.

72．设点为椭圆（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时, .

73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.

74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.

75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.

76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.

77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).  注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.