新沂市第一中学2011届高三数学周练卷

新沂市第一中学2011届高三数学周练卷

注意事项:本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.

  

第I卷 (填空题)

 

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1．集合且A∩B={2}则      .

2．已知命题：“，”，请写出命题的否定:      .w.

3. 设复数，则      .

4．在等比数列中,若,则的值是      .

5. 设的三个内角,,所对边的长分别是,,，且，那么     .

6．若,,若，则向量与的夹角为      .

7. 函数在处的切线方程是      .

 

8. 方程的根的个数为     .

 

9. 在等式中，根号下的表示的正整数是      .

 

10．已知函数,若，则实数的取值范围是      .

 

11．矩形中，轴，且矩形恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形周长的最小值为      .

 

12．已知、分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，Q是轴上的一个动点，若，则_________.

 

13. 设是定义在上的函数，若，且对任意的，满足，则        .

 

14. 已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则      .

 

第II卷（解答题）

 

二、解答题：本大题共6小题，共90分.

 

15.（本题满分14分）

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.

   （１）求角B的大小；

   （２）设,试求的取值范围.

 

 

16.（本题满分14分）

在直三棱柱中，，，是的中点，

是上一点，且．

（1）求证： 平面；

（2）求三棱锥的体积；

（3）试在上找一点，使得平面．

　　　　　　　　

 

 

17．（本题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点 在椭圆的准线上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值.

 

 

18. （本题满分16分）

某园林公司计划在一块为圆心,(为常数)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.

(1) 设,,分别用,表示弓形的面积;

(2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?

(参考公式:扇形面积公式)

　　　　　　　　

 

 

19. （本题满分16分）

设函数，其中．

（１）当时，讨论函数的单调性；

（２）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（３）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

 

 

20. （本题满分16分）

已知数列满足且

（1）求；

（2）数列满足，且时．证明：当时， ；

（3）在（2）的条件下，试比较与4的大小关系．

 

 

 

新沂市第一中学2011届高三数学周练卷参考答案

 

1．     2． w.      3. 1    4．4     5.     6．    7.

8.1    9. 3   10． (1,2);   11、   12． 20   13.    14.

 

 

15. 解: (１) 因为(2a－c）cosB=bcosC,所以(2sinA－sinC）cosB=sinBcosC,  

即2sinA cosB=sinCcosB＋sinBcosC= sin(C＋B)= sinA.而sinA>0,所以cosB=_.

又∵，故B=60°.

   (２) 因为,所以=3sinA＋cos2A.

=3sinA＋1－2sin²A=－2(sinA－)²＋.

由得,所以,

从而…12分

故的取值范围是.   

 

16.（1）证明：为中点 

 ，又直三棱柱中：底面

底面，，平面，平面

 ．在 矩形中：，

   ，  ，即

，

，平面；

　　　

（2）解：平面 

=；

（3）当时，平面．

证明：连，设，连， . 为矩形，

为中点，为中点，，

平面，平面 . 平面 .

 

17．解：（1）由，得.

又由点M在准线上，得，故，    从而.

所以椭圆方程为.

（2）以OM为直径的圆的方程为_.

其圆心为,半径 .

因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2.

所以圆心到直线的距离 .

所以，解得所求圆的方程为_.

（3）方法一：由平几知：_.

直线OM：，直线FN：.

由得_.

所以线段ON的长为定值.

方法二、设，则

_.

又_.

所以，为定值.

18.

18.解：（1），, .

      又，,.

　　

(2)设总利润为元，草皮利润为元，花木地利润为，观赏样板地成本为_.

，，,

 .

   .设  . .

上为减函数；

上为增函数.

当时，取到最小值,此时总利润最大. 所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大.

注：本题考查导数，函数性质，考查运算能力和分析问题和解决问题的能力.

 

19. 解：（１）．

当时，．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

（２），显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．

解此不等式，得．这时，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

（３）由条件可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当

    即

在上恒成立．所以，因此满足条件的的取值范围是．

 

20. 解：（1）设由

，∴当时，数列为等差数列．∴ ……4分

（2）证：当时，由，得，即……①  

 ∴……②  

②式减①式，有，得证．                        

（3）解：当时， ； 当时， ，

由（2）知，当时，                     

∴当时，

∵，

∴上式，

∴．