七年级数学竞赛讲座 第十七讲 整式的乘法与除法

第十七讲  整式的乘法与除法

     指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个： ， ， ， ．学习指数运算律应注意：

  1．运算律成立的条件；

  2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；

  3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．

  多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：

    1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；

    2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；

3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．

例题

  【例1】  (1)如果 ，则 ＝      ．

    ( “希望杯”邀请赛试题)

    (2)把(x²一x+1)⁶展开后得 ，则        ．  (“祖冲之杯”邀请赛试题)

    思路点拨  (1)把高次项用低次多项式表示；(2)我们很难将(x²一x+1)⁶的展开式写出，因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的，事实上，上列等式在x的允许值范围内取任何一个值代入计算，等式都成立，考虑用赋值法解．

  注：  一般地，被除式、除式、商式和余式之间有下面的关系式：

    被除式＝除式×商式+余式．

    特别地，当余式为零时，称除式能整除被除式．

在解数学题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，再进行运算、推理解题的方法叫赋值法，用赋值法解题有两种类型： (1)常规数学问题中，恰当地对字母取值，简化解题过程；(2)非常规数学问题通过赋值，把问题“数学化”．

【例2】  已知 ， ，则 等于(    )．

    A．2    B．1    C．    D．  

    ( “希望杯”邀请赛试题)

    思路点拨  因 为指数，我们目前无法求出 的值， ，其实只需求出 的值或它们的关系，自然想到指数运算律．

  【例3】  设 都是自然数，且 ，求d一b的值．

    (上海市普陀区竞赛题)

   

思路点拨  设 ，这样 可用m的式子表示． 可用n的式子表示，减少字母的个数，降低问题的难度．

    【例4】 ．求A、B的值．

   思路点拨  等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解．

   【例5】   是否存在常数p、q使得 能被 整除?如果存在，求出p、q的值，否则请说明理由．

    思路点拔  由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数)，根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出p、q的值，所谓p、q是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．

    注  运用指数运算率解题，应注意以下几点：

    (1)善于变异底为同底；  (2)适当地对已知等式进行运算处理，从整体上解决问题．

    所谓恒等式，就是指不论用任意数值来代替式中的字母左右两边的值都相等的等式．

    如果两个多项式恒等，那么，这两个多项式的对应项系数一定对应相等．

    待定系数法是数学中的一种重要方法，在有关整式的恒等变形的解题中经常用到，运用此方法解题的一般步骤是：

    (1)根据多项式之间的次数关系，设出一个恒等式，其中有几个待定系数；

    (2)比较对应项的系数，列出方程组；

(3)解方程组，求出待定系数的值．

 

学力训练

1．如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸(墙体厚度忽略不计，单位：米)．房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是a元／米²，则买砖至少需要    元(用含a、x、y的代数式表示)．

(河北省中考题)

2．若2x+5y—3=0，则4^x．32^y          ．

(绍兴市竞赛题)

3．满足(x—1)²⁰⁰>3²⁰⁰的x的最小正整数为        ． (2003年武汉市选拔赛试题)

4． 都是正数，且 ，则 中，最大的一个是        ． (“英才杯”竞赛题)

5．化简 得（     ）．

A．    B．     C．      D．

    (年IT杯全国初中数学竞赛题)

6．已知 ，那么 从小到大的顺序是(    )．

A．a<b<c<d    B．a<b<d<c   C ．b<a<c<d    D．a<d<b<c

(北京市“迎春杯”竞赛题)

7．已知a是不为0的整数，并且关于x的方程 有整数根，则a的值共有(    )．

  A． 1个      B．3个    C．6个    D．9个

8．计算(0．04)²⁰⁰³×[(一5)²⁰⁰³]²得(    )．

  A．1    B．—l    C．     D．

    (杭州市中考题)

9．已知 ，试确定 的  值．

10．设 都是正整数，并且 ，求a-b的值．

    (江苏省竞赛题)

11．已知四位数 ，试确定 的值．

12．多项式 与多项式 的乘积中，没有含 的项，也没有含 的项，则 ＝     ．

13．若多项式 能表示成 的形式，则a＝     ．

14．若 ，则      ．

    (2003年北京市竞赛题)

15．如果多项式 能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么a=    ，b=      ．

16．若 ，那么 从小到大的顺序是(    )．

A．a>b>c>d    B．a>b>d>c   C ．b>a>c>d    D．a>d>b>c

(北京市“迎春杯”竞赛题)

17．已知 均为正数，又M ，N ，则M与N的大小关系是(    )．

A．M=N    B．M<N     C．M>N    D．关系不确定

18．若 ，则 的值等于(    )

    A．1997    B．1999    C．2001     D．2003

    (北京市竞赛题)

19．已知关于x的整系数二次三项式ax²十bx+c当x取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为l，5，25，50．经检验，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是(    )．

A．当x=1时，ax²十bx+c=1          B．当x＝3时，ax²十bx+c=5

C．当x=6时，ax²十bx+c=25     D．当x＝8时，ax²十bx+c=50

20．已知3x²-x-1=0，求6x³十7x²一5x+1999的值．

21．已知a是方程 的一个根，试求代数式 的值．

22．已知 ，求证：(a一1)(d—1)=(b一1)(c一1)．

23．是否存在整数 满足 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．

24．当自然数n的个位数分别为0，1，2，……，9时，n²，n³，n ⁴，n ⁵的个位数如表所示

n的个位数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n2的个位数	0	1	4	9	6	5	6	9	4	1
n3的个位数	0	1	8	7	4	5	6	3	2	9
n4的个位数	0	1	6	1	6	5	6	l	6	1
n5的个位数	0	l	2	3	4	5	6	7	8	9

  (1)从所列的表中你能发现什么规律?

  (2)若n为自然数，和数1981ⁿ+1982 ⁿ+1983 ⁿ+1984 ⁿ不能被10整除，那么n必须满足什么条件? 

 

参考答案