[原创]2013年上海高考题（理科）第22题讲评

2013年上海高考题（理科）第22题（压轴题）讲评

大罕

    22．(本题满分16分）本题共有两个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
    如图，已知曲线C₁：x²/2-y²=1，曲线C₂：|y|=|x|+1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C₁, C₂都有公共点，则称P为“C₁—C₂型点”．
    (1)在正确证明C₁的左焦点是“C₁—C₂型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
    (2)设直线y=kx与C₂有公共点，求证|k|>1，进而证明原点不是“C₁—C₂型点”；
    (3)求证：圆x²+y²=1/2内的点都不是“C₁—C₂型点”．
    解答：
   （1）C₁的左焦点为F(-√3,0)，过F的直线x=-√3,与C₁交于(-√3,±√2/2)，与C₂交于(-√3,±(√3+1))，故C₁的左焦点为“C₁—C₂型点”；
   （2）若直线y=kx与C₂有公共点，则把y=kx代入|y|=|x|+1，可得(|k|-1)|x|=1，此方程有解，所以|k|>1；
   若直线y=kx与C₁有公共点，则把y=kx代入x²/2-y²=1，可得(1－2k²)x²=2，此方程有解，所以1－2k²>0，即k²<1/2；
   ∵{k||k|>1}∩{k|| k²<1/2}＝Φ ,
   ∴直线y=kx（过原点）至多与曲线C₁和C₂中的一条有交点，即原点不是“C₁—C₂型点”.

（3）若圆x²+y²=1/2内存在一点是“C₁—C₂型点”，则存在直线l与C₁,C₂都有交点.过圆内一点的直线l若与曲线C₁有交点，则显然斜率必存在，
   根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C₂交于点(t,t+1)(t≥0)，则l：y-(t+1)=k(x-t)，即kx-y+(t+1-kt)=0,
   ∵ 直线l与圆x²+y²=1/2相交，
   ∴ |1+t-kt|/√(k2+1)< √2/2，
   化简可得，(1+t-kt)²<(1/2)(k²+1) ………………①
   若直线l与曲线C₁有交点，
   则由y=kx-kt+t+1和x²/2-y²=1联立消去y，得
    (k²-1/2)x²+2k(1+t-kt)x+(1+t-kx)²+1=0.
   △=4k²(1+t-kt)²-4(k²-1/2)[(1+t-kx)²+1]≥0
   化简得 (1+t-kt)2≥2(k²-1)  …………………… ②
    由①②得，2(k²-1) ≤(1/2)(k²+1),
   ∴ k²<1,
   此时我们再考查①，注意到t≥0和k<1, ∴①的左边＝[1+t(1-k)]² ≥1，
   同时注意到k²<1，∴①的右边＝(1/2)(k²+1)<1，
   因此①式是不成立的,这说明直线l若与圆x²+y²=1/2内有交点，则不可能同时与曲线C₁和C₂有交点，
即圆x²+y²=1/2内的点都不是“C₁—C₂型点” ．
   评论：有一种说法：“上海数学卷的难度低于全国卷”.这种说法正确吗？事实上，上海卷的压轴题（第3小题），也是够难的了.
   常常以“创新题”的面貌出现，是上海卷的特色，本身就是难点！所谓“创新题”，就是题目给出一个新的概念，要求考生当场理解，并予以解答，考前是无法模拟的，凭的全是实力.
   头绪纷繁是上海卷压轴题的另一特色.“C₁—C₂型点”是什么？经过某点的直线与给定的两条曲线都相交，这个点就是“C₁—C₂型点”．这样的设计，一个概念中竟涉及到一点、一直线和两曲线，头绪纷繁，你说难不难？
   需要极强的抽象能力和运算能力，也是上海卷压轴的一大特色.含参数的直线方程与双曲线方程联立，与含绝对值的直线型方程联立，在一大堆字母的情形下准确地计算出其判别式，在一片迷茫中把握数学变换的方向，找到解决问题的症结，举步维艰中，应沉着冷静、心明眼亮.这些对学生的心理素质和数学能力无疑提出了很高的要求.
  含绝对值的方程、多元字母的讨论、递推数列、反证法，这些数学上棘手的问题，常常在上海卷中出现，这也是一大特色。一般来说，反证法是一种被逼无奈时使用的一种方法.在迷宫一样的数学推算中，大胆试探，小心求证，找出矛盾，非能力一般者所能做到.本题解答中，找到了①两边不相等故不成立，绝非易事.
   由于上海教材不讲全国教材中的某些内容，给人造成一个错觉，以为内容少了就会简单些，多年来以讹传讹，形成了“上海数学较简单的印象”.上海卷历年都很有特色.有人甚至说：“能引领全国试题的风格和方向，值得加以研究”.从试卷这一角度也能反映上海数学教学的特点，少而精，并非简而单.是否能引领全国（各地）试题的风格和方向，个人观点那倒不一定.但它在全国各地试题中具备独特的风格和体现了重在能力的这一方向，是勿庸置疑的，当然也是值得研究和学习的.