纳皮尔

纳皮尔
山西大学 欧阳绛
　
　　纳皮尔，J．(Napier，John)1550年生于苏格兰爱丁堡；1617年4月4日卒于爱丁堡．数学．
　　纳皮尔出生于苏格兰的贵族家庭．13岁进入圣安德鲁斯的圣萨尔瓦特学院，曾在那里接受神学教育．他的舅父A．博瑟韦尔(Bothwell)是奥克尼的主教，支持他到国外留学．1571年，纳皮尔回到苏格兰，1572年，与J．斯特林(Stirling)爵士的女儿伊丽莎白(Elizabeth)结婚，并定居在加尔特内斯．1608年迁居爱丁堡附近的梅尔契斯顿堡．1579年，其妻去世，又娶珀思州克罗姆利克斯的A．奇斯霍姆(Chisholm)为妻；第一个妻子有两个孩子，第二个妻子有十个孩子．纳皮尔的遗著是第二个儿子罗伯特(Robert)整理出版的．
　　纳皮尔是一位地主，他曾试验肥料的使用和饲料的配合，并发现在饲料中加盐的好处．他还发明了螺旋抽水机，用于抽去煤坑中的水(1597)．
　　纳皮尔还预言将来会有许多种杀伤力强的武器，并提出了设计，画了示意图．他预言将来会造出一种枪炮，它能“清除四英里圆周内所有超过一英尺高的活着的动物”；会生产“在水下航行的机器”；并且会创造一种战车，它有“一只血盆大口”，能“毁灭所经之处的任何东西”．
　　他大部分时间生活在梅尔契斯顿堡的贵族庄园，并且把大部分精力花在那个时代的政治和宗教论争中，但仍为数学的发展做了许多有价值的工作．自1572年他第一次结婚后不久，就开始搜集资料，写了一本关于算术和代数的论著，此书仅以手稿形式保存下来；纳皮尔死后，儿子罗伯特在H．布里格斯(Briggs)的帮助下抄写，整理成书．1839年，由其后裔M．纳皮尔发表，书名为《算术技巧》(De arte logistica)．从这部著作中看出，纳皮尔研究过方程的虚根；并把它当作是代数学中的秘密．
　　纳皮尔于1590年左右开始写关于对数的著作，后来发表了两本拉丁文论著：《奇妙的对数定理说明书》(Mirifici logarithmo-rum canonis descriptio，1614)和《奇妙对数定律的构造》(Miri-fici logarithmorum canonis constructio，1619)．《奇妙的对数定理说明书》对于对数的性质和用法作了简要叙述，并包括以分弧为间隔的角的正弦的对数表．此书的第一个英文译本的译者是E．赖特(Wright)，他死后由儿子S．赖特(Wright)发表(1616)．《奇妙对数定律的构造》一书，是R．纳皮尔(Napier)在其父死后整理出版的，其中包括纳皮尔多年前写的材料；此书对于对数表的计算和赖以建立的根据作了充分解释．
　　《奇妙的对数定理说明书》引起了人们广泛的兴趣．此书出版之后，伦敦格雷沙姆学院几何学教授布里格斯专程到爱丁堡向这位伟大的对数发明者表示敬意．通过这次访问，纳皮尔和布里格斯商定：如果把对数改变一下，使得1的对数为0，10的对数为10的适当次幂，造出来的表会更有用．于是，就有了今天的常用对数．
　　对数作为一种计算方法，其优越性在于：通过对数，乘法和除法被归结为简单的加法和减法运算．这种想法起源于纳皮尔时代人们所熟知的公式
2cosAcosB=cos(A＋B)+cos(A-B)，
　　在这里，2cosA和cosB两个数的乘积被cos(A+B)和cos(A-B)两个数的和取代．此公式易于扩展为：从任何两个数的积变成另外两数的和．
　　与上述的三角恒等式相联系，有下列三个恒等式：
2sinAcosB=sin(A＋B)+sin(A-B)，
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)，
2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)．
　　这四个恒等式有时被称做沃纳公式，因为J．沃纳(Werner)曾利用它们简化由天文学引起的长计算．此公式在16世纪末被数学家和天文学家们广泛地用于把积变成和与差．此方法以“加与减”(prosthaphaeresis)著称．长除法也可以类似地处理．
　　纳皮尔通晓“加与减”的方法，并可能受到这种方法的影响；否则就难以说明他为什么最初把对数限制于能用角的正弦表示的那些数．但是，他的消除长乘法和长除法的困难的办法，与“加与减”方法是有显著区别的．
 
　　纳皮尔在对数的理论上至少花了20年；最终以几何术语说明该原理如下．考虑线段AB和无穷射线DE，如图1所示．令C点和F点同时分别从A和D，沿着这两条线以同样的初始速度开如移动．假定C点的速度与线段CB成正比(比例常数是1)，而F以匀速移动．纳皮尔定义DF为CB的对数．也就是说，令DF=x，CB=y，则
x=Naplog y．
　　纳皮尔为了免去小数的麻烦，取AB的长为107．我们现在借助于微积分，可从纳皮尔的定义推出
 
　　推导过程如下：由AC=107-y，得
C的速度=-dy/dt=y，
　　即dy/y=-dt．积分之，得lny=-t+C，将t=0代入，计算积分常数，得C=ln107．所以
lny=-t＋ln107．
　　由于
F的速度=dx/dt=107，
　　所以
x=107t，
　　Naplog y=x=107t=107(ln 107-lny)
=107ln(107/y)=107lgl/e(y/107)．
　　有人说纳皮尔对数是自然对数，这是没有根据的．实际上，纳皮尔对数随着真数的增加而减少，与在自然对数中的情况相反．
　　logarithm(对数)这个词的意思是“比数”(ratio number)，意指数与数之间总保持相同的比．纳皮尔最初用的是artificialnumber(人造数)，后来才用logarithm这个词．布里格斯引进mantissa这个词，它起源于伊特拉斯坎语的一个晚期拉丁名词，原来的意思是“附加”或“补缺”，到16世纪意指加尾数．Chracteristic(首数)这个术语也是布里格斯提出的．
　　纳皮尔的惊人发明被整个欧洲热心地采用．尤其是天文学界，简直为这个发现沸腾起来了．P．S．拉普拉斯(Laplace)就认为，对数的发现“以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”．
　　在谁最先发现对数这个问题上，纳皮尔只遇到一个对手，他就是瑞士仪器制造者J．比尔吉(Biirgi)．比尔吉独立设想并造出了对数表．于1620年出版了《算术和几何级数表》(Arithmetischeund geometrische Progress-tabulen，1620)．虽然两个人都在发表之前很早就有了对数的概念，但纳皮尔的途径是几何的，比尔吉的途径是代数的．
　　纳皮尔以其对数的发现成为数学史上的重要人物．除此以外，他还有三项重要成果．
　　(1)解直角球面三角形时帮助记忆的方法，称为圆的部分的规则．
　　画一个直角球面三角形，依习惯用法标上字母．在该三角形的右边有一个被分成五部分的圆，除c外，包括和该三角形同样的字母，且依
 
这个圆中，与某一给定部分相邻的有两个圆部，与它不相邻的也有两个圆部．我们称此给定的部分为“中部”，两个相邻的部分为“邻部”，两个不相邻的部分为“对部”．纳皮尔的规则可叙述如下：
　　①任何中部的正弦等于两个对部余弦的乘积；
　　②任何中部的正弦等于两个邻部正切的乘积．
 
　　(2)得出用于解斜角球面三角形的四个三角公式(称做纳皮尔比拟)中的至少两个．这四个公式是：
 
 
　　(3)发明纳皮尔算筹(Napier's rods)．它是用于机械地进行数的乘法运算、除法运算和求数的平方根的．纳皮尔在1617年发表的《筹算集》(Rabdologiae)中作了叙述．例如，在进行乘法运算时，就要准备好10条卡片(当然，也可以用骨板、金属板或木板)．图3左方便是这些卡片中的一个，头上标有6，卡片上是6的各种倍数．为了说明如何使用这些长条作乘法运算，请看《筹算集》中的例子：1615乘以365．把头上标有1，6，1，5的长条一个挨一个地摆成图右边的样子．容易读出1615乘以365的5，6，3的结果(遇到对角线上有两个数字，就把它们加到一起)：8075，9690和4845．答案如图3右上方所示．