1 基本简介
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。高中阶段，余弦定理是比较重要的数学公式。
余弦定理
如图所示，△ABC，余弦定理可表示为：
a^2=b^2+c^2--2bc cos A,
同理，也可描述为：
b^2=a^2+c^2--2ac cos B,
c^2=a^2+b^2--2ab cos C
变式：
2a=2b+2c-2bc cos A==>2a=2(b+c-bc cos A)——a=b+c-bc co sA
其他同理。
cos A=b^2+c^2-a^2/2bc
其他同理。
2 数学应用
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
2.1 求边
余弦定理公式可变换为以下形式：
如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
2.2 求角
余弦定理公式可变换为以下形式：
因为余弦函数在 上的单调性，可以得到：
因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
3 定理证明
3.1 平面向量证法
∵如图，有 a+ b= c (平行四边形定则：两个邻边之间的 对角线代表两个邻边大小）∴ c· c=(a+ b)·( a+ b)
∴ c^2= a· a+2 a· b+ b· b∴ c^2= a^2+ b^2+2| a|| b| Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）
又∵c os(π-θ)=-Cosθ
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|c osθ（注意：这里用到了 三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b* CosC
即 c osC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b
同理可证其他，而下面的c osC=(a^2+b^2-c^2)/2ab就是将c osC移到左边表示一下。
3.2 平面几何证法
在任意△ABC中 
余弦定理
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据 勾股定理可得：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2
b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB*c)2
b2=(sinB^2+cosB^2)*c2-2ac*cosB+a2
b2=c2+a2-2ac*cosB
\begin{displaymath} cosB=(c2+a2b2)～2*a*c \end{displaymath}
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4 相关应用
在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话：“向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。” “当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。 ”同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。
余弦定理
余弦定理
