借助向量求多元函数的最值问题

在有些二元函数求最值的问题中，构建向量模型，常常会使复杂的问题变得简洁明了，利用向量的坐标及向量的内积，会使繁琐的解题过程显得巧妙与自然，下面举例进行分析：

例1：已知：，求的最大值。

解：由已知，可取一定点M（3，2）

设N（x，y）为圆上任意一点，0为原点，

则OM=（3，2），ON=（x，y）

所以

那么

的最大值为

 

例2：已知：，求的最小值。

解：由已知，取一定点，M（1，1）

设N（x，y）为圆上的任意一点，0为原点。

则OM=（1，1），ON=（x，y）

所以

那么

又因为

所以

也就是

即

的最小值为8。

 

例3：已知，求的最小值。

解：由已知，可取一定点P（1，1）

再设，0为原点，

OP=（1，1）

所以

那么

的最小值为。

 

例4：已知：，求的最小值。

解：由已知，设，，O为原点。

所以

那么

可得

因为

所以

那么

而

即

的最小值。

 

例5：已知，

求的最小值。

解：由已知，设点M（），N（），O为原点

则

所以

因为

所以

也就是

即，的最小值为2。

以上五道例题利用了向量独特的几何性质和代数运算的完美结合，即向量的内积，把复杂的、看似无从入手的代数问题转化为向量问题，这不仅有助于培养学生数形结合的数学思维，还会激励学生的发散思维，使其在以后的解题过程中，手法更具有灵活性和技巧性。