（本小题满分14分）椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率，过点C（

（本小题满分14分）椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：（λ≥2）。 （1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积； （2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程； （3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程。

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案（找作业答案--->>上魔方格）

同解析

解：设椭圆方程为：（a＞b＞ 0），由及a2=b2+c2得a2=3b2，故椭圆方程为x2+3y2=3b2…①                （1分） （1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 并且（λ≥2） ∴（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），即……② 把y=k（x+1）代入椭圆方程,得:（3k2+1）x2+6k2x+3k2-3b2=0,且△=k2（3b2-1）+b2>0, ∴……③……④   （3分） ∴ 联立②、③得：∴（5分） （2） 当且仅当即时，S△OAB取得最大值。 此时，又∵x1+1=-λ（x2+1）， ∴，代入④得：故此时椭圆的方程为 （10分） （3）由②．③联立得：将x1．x2代入④得：由k2=λ-1 得： 易知：当λ≥2时，3b2是λ的减函数，故当λ=2时，（3b2）max=3．故当λ=2， k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2+3y2=3。（14分）