2014届高考数学（理）一轮复习热点针对训练：第57讲《椭圆》《导数的概念及运算》Word版含解析

1.(2013·衡水调研)椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，焦距为2c.若d_1,2c，d₂成等差数列，则椭圆的离心率为( A )

A. B.

C. D.

解析：由d₁＋d₂＝2a＝4c，所以e＝＝，故选A.

2.(2012·福建省宁德市质量检查)已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是( B )

A．k>1或k<3 B．1<<I>k<3

C．k>1 D．k<3

解析：因为方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得1<<I>k<3，故选B.

3.(2013·温州五校)椭圆＋＝1的左焦点为F₁，点P在椭圆上，若线段PF₁的中点M在y轴上，则|PF₁|＝( A )

A. B.

C．6 D．7

解析：由条件知PF₂⊥x轴，

则|PF₂|＝＝，

于是|PF₁|＝2a－|PF₂|＝2×5－＝，故选A.

4.(2012·海淀二模)已知点F₁，F₂是椭圆x²＋2y²＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(C )

A．0 B．1

C．2 D．2

解析：由于O为F₁、F₂的中点，

则|＋|＝2||，

而当P为短轴端点时，||取得最小值1，

所以|＋|的最小值为2，故选C.

5.(2012·重庆市第二次七区联考)椭圆x²＋my²＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的三倍，则m的值为 .

解析：由题意得＝3×1，所以m＝.

6.(2012·广东省潮州市上学期期末)直线x－2y＋2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 .

解析：由直线方程知椭圆的焦点为(－2,0)，顶点为(0,1)，则b＝1，c＝2，所以a＝＝，所以e＝＝.

7.(2012·广东省肇庆第一次模拟)短轴长为，离心率e＝的椭圆的两焦点为F₁，F₂，过F₁作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF₂的周长为 6 .

解析：由题知，即，

解得，

由椭圆的定义知△ABF₂的周长为4a＝4×＝6.

8.设F₁，F₂分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为2.

(1)求椭圆C的焦距；

(2)如果＝2，求椭圆C的方程．

解析：(1)设椭圆C的焦距为2c.

由已知可得F₁到直线l的距离为c＝2，

故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由题意知y₁<0，y₂>0.

直线l的方程为y＝(x－2)．

联立，得方程组，

消去x，得(3a²＋b²)y²＋4b²y－3b⁴＝0，

解得y₁＝，y₂＝.

因为＝2，所以－y₁＝2y₂，

即＝2×，得a＝3.

而a²－b²＝4，所以b＝.

故椭圆C的方程为＋＝1.

9.(2012·广东省江门市第一次模拟)已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A(0,1)，离心率e＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l_n：y＝(n∈N^*)与椭圆C在第一象限内相交于点A_n(x_n , y_n)，记a_n＝x，试证明：对?n∈N^*，a₁·a₂·…·a_n>.

解析：(1)依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

则，解得，

所以椭圆C的方程为＋y²＝1.

(2)由，得x＝，

a_n＝x＝，

所以a₁·a₂·…·a_n＝×××…×＝>.

1.(2013·广东韶关市调研)函数y＝xe^x的最小值是( C )

A．－1 B．－e

C．－ D．不存在

解析：y′＝e^x＋xe^x，令y′＝0，则x＝－1.

当x＜－1时，y′<0；当x＞－1时，y′>0，

所以x＝－1时，y_min＝－，故选C.

2.(2012·安徽省“江南十校”3月联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是( C )

A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)

C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)

解析：观察函数f(x)的特征图象可知函数f(x)在区间(－∞，c]上单调递增，由于a＜b＜c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.

3.函数f(x)＝x³＋ax²＋3x－9，已知f (x)在x＝－3时取得极值，则a＝( D )

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：因为f′(x)＝3x²＋2ax＋3，且f(x)在x＝－3时取得极值，所以f′(－3)＝3×9＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5，故选D.

4.函数f(x)＝(x²＋x＋1)e^x(x∈R)的单调减区间为 (－2，－1) .

解析：f′(x)＝(2x＋1)e^x＋(x²＋x＋1)e^x

＝(x²＋3x＋2)e^x(x∈R)，

令f′(x)<0，则x²＋3x＋2<0，

解得－2<<I>x<－1，即所求的单调减区间为(－2，－1)．

5.函数y＝f (x)在定义域(－，3)内的图象如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为 [－，1]∪[2,3) .

解析：因为导函数f′(x)≤0为函数f(x)的减区间，所以根据函数图象易知f′(x)≤0的解集为[－，1]∪[2,3)．

6.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝a^x，且f′(x)g(x)<<I>f(x)·g′(x)，＋＝，则a的值是 .

解析：令F(x)＝，

则F(x)＝＜0，

所以函数F(x)在R上是减函数，于是0<<I>a<1.

则由＋＝，得a＋＝，解得a＝.

7.(2012·四川省自贡市第一次诊断)下列图象中，有且只有一个是函数f(x)＝x³＋ax²＋(a²－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为－ .

解析：由f′(x)＝x²＋2ax＋a²－1＝(x＋a－1)(x＋a＋1)，且a≠0，所以导函数f′(x)的图象开口向上，且对称轴不是y轴，因此其图象就为第三个，所以由f′(x)的图象与x轴的交点为原点与y轴右侧的点可得a＝－1，所以f(－1)＝－－1＋1＝－.

8.设f(x)＝，其中a为正实数．

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

(2)若f(x)为[，]上的单调函数，求a的取值范围．

解析：因为f′(x)＝.

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，

则4x²－8x＋3＝0，解得x₁＝，x₂＝.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，)		(，)		(，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	递增	极大值	递减	极小值	递增

由表可知，x₁＝是极大值点，x₂＝是极小值点．

(2)记g(x)＝ax²－2ax＋1，则g(x)＝a(x－1)²＋1－a.

因为f(x)为[，]上的单调函数，

则f′(x)在[，]上不变号．

因为>0，

所以g(x)≥0或g(x)≤0在x∈[，]上恒成立，

由g(1)≥0或g()≤0，得0<<I>a≤1或a≥，

所以a的取值范围是0<<I>a≤1或a≥.

9.已知函数f(x)＝x²－ax－aln(x－1)(a∈R)．

(1)当a＝1时，求函数f(x)的最值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

解析：(1)函数f(x)＝x²－ax－aln(x－1)(a∈R)的定义域是(1，＋∞)．

当a＝1时，f′(x)＝2x－1－＝，

所以f(x)在(1，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f()＝＋ln 2.

(2)f′(x)＝2x－a－＝，

若a≤0时，则≤1，f(x)＝>0在(1，＋∞)恒成立，

所以f(x)的增区间为(1，＋∞)．

若a>0，则>1，

故当x∈(1，]，f′(x)＝≤0，

当x∈[，＋∞)时，f(x)＝≥0，

所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，)，f(x)的增区间为[，＋∞)．

1.点P(2，－1)为圆(x－1)²＋y²＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为( C )

A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0

C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0

解析：由圆的方程知圆心坐标为(1,0)，圆心与P点的连线的斜率为－1，所以直线AB的斜率为1，又过点P(2，－1)，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选C.

2.在平面直角坐标系内，若曲线C：x²＋y²＋2ax－4ay＋5a²－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为( D )

A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)

解析：曲线C：x²＋y²＋2ax－4ay＋5a²－4＝0，

即(x＋a)²＋(y－2a)²＝4表示以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆，当－a<－2且2a＞0，即a>2时，曲线C上所有的点均在第二象限内，故选D.

3.已知A、B、C是圆O：x²＋y²＝1上不同的三个点，且·＝0，存在实数λ，μ满足＝λ＋μ，则点(λ，μ)与圆的位置关系是( B )

A．在单位圆外 B．在单位圆上

C．在单位圆内 D．无法确定

解析：因为点A、B、C在单位圆上，

故|OC|＝1，于是有|OC|²＝1，

即(λ＋μ)²＝1，展开得λ²＋μ²＝1，

所以点(λ，μ)在圆x²＋y²＝1上，故选B.

4.圆心在原点且与直线x＋2y＝4相切的圆的方程是 x²＋y²＝ .

解析：由题意，半径R＝＝，

所以圆的方程为x²＋y²＝，故填x²＋y²＝.

5.以抛物线y²＝4x上的点(x_0,4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 (x－4)²＋(y－4)²＝25 .

解析：抛物线的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，

根据点(x_0,4)在抛物线上知4²＝4x₀，解得x₀＝4，

所以圆心为(4,4)，半径为x₀＋1＝5，

故所求圆的方程为(x－4)²＋(y－4)²＝25.

6.(2013·广东高州市第一次模拟)点P(4，－2)与圆x²＋y²＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (x－2)²＋(y＋1)²＝1 .

解析：设圆上任一点为Q(s，t)，PQ的中点为A(x，y)，

则，解得，

将其代入圆的方程，

得(2x－4)²＋(2y＋2)²＝4，

整理得(x－2)²＋(y＋1)²＝1.

7.(2012·浙江省温州市2月适应性测试)若x²＋y²－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点位于原点的同侧，则实数m的取值范围是 m>3或－6<<I>m<－2 .

解析：圆方程配方，得(x－2)²＋(y＋m)²＝m²－m－2，

则，

解得m>3或－6<<I>m<－2.

8.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．

解析：由已知求得AB 的垂直平分线l′的方程为x－3y－3＝0.

圆心C的坐标是方程组的解，

解得.

半径r＝|AC|＝＝5.

故所求圆的方程为(x＋3)²＋(y＋2)²＝25.

9.在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＋4＝0相切．

(1)求圆O的方程；

(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使||，||，||成等比数列，求·的取值范围．

解析：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＋4＝0的距离，即r＝＝2.

所以圆O的方程为x²＋y²＝4.

(2)不妨设A(x_1,0)，B(x_2,0)，x₁<<I>x₂.

由x²＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．

设P(x，y)，由||，||，||成等比数列，

得·＝x²＋y²，

即x²－y²＝2.

·＝(－2－x，－y)· (2－x，－y)

＝x²－4＋y²＝2(y²－1)．

由于点P在圆O内，故，由此得y²<1.

所以·的取值范围为[－2,0)．

1.下列求导运算正确的是( B )

A．(x＋)′＝1＋ B．(log₂x)′＝

C．(3^x)′＝3^xlog₃e D．(x²cos x)′＝－2xsin x

解析：(x＋)′＝1－；(3^x)′＝3^x·ln 3；

(x²cos x)′＝(x²)′·cos x＋x²·(cos x)′

＝2xcos x－x²sin x，

所以A、C、D错．故选B.

2.若f′(x₀)＝3，则 等于( B )

A．3 B．6

C．9 D．12

解析：

＝

＝ ＋

＝f′(x₀)＋f′(x₀)＝6，选B.

3.(2012·山东省日照市12月)设函数f(x)＝x²－6x，则f(x)在x＝0处的切线斜率为( D )

A．0 B．－1

C．3 D．－6

解析：f(x)在x＝0处的切线斜率为

f′(0)＝(2x－6)|_x＝0＝－6.

4.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是( B )

解析：设二次函数y＝ax²＋b(a<0，b>0)，则y′＝2ax，又因为a<0，故选B.

5.(2012·安徽皖南联考)曲线f(x)＝sin x的切线的倾斜角α的取值范围是 [0，]∪[，π) .

解析：f′(x)＝cos x，而cos x∈[－1,1]，即－1≤tan α≤1，又α∈[0，π)，由正切函数图象得α∈[0，]∪[，π)．

6.(2012·广东省揭阳段考)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝ .

解析：由图象知l过点(0,3)、(4,5)，因此可以求出切 线l在点(4,5)处的斜率，f′(4)＝＝.

7.(2012·广东省汕头市质量测评)设曲线y＝ax²在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝ 1 .

解析：由y′＝2ax，又点(1，a)在曲线y＝ax²上，

依题意得k＝y′|_x＝1＝2a＝2，解得a＝1.

8.设曲线y＝x^n＋1(n∈N^*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n＝lg x_n，试求a₁＋a₂＋…＋a₉₉的值．

解析：因为y′＝(n＋1)xⁿ，故y′|_x＝1＝n＋1，

所以切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．

令y＝0，则x_n＝，所以a_n＝lg.

所以a₁＋a₂＋…＋a₉₉＝lg＋lg＋…＋lg＝lg＝－2.

9.已知函数f(x)＝x³－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．

解析：(1)由f(x)＝x³－3x，得f′(x)＝3x²－3，

过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，

所以所求直线方程为y＝－2.

(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x₀，y₀)，

则f′(x₀)＝3x－3，

又直线l过(x₀，y₀)，P(1，－2)，

故其斜率可表示为＝，

所以＝3x－3，

即x－3x₀＋2＝3(x－1)·(x₀－1)，

解得x₀＝1(舍去)或x₀＝－，

故所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－，

所以直线方程为y－(－2)＝－(x－1)，

即9x＋4y－1＝0.