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数学高考10招（2） 就地取材 无中生有 ●计名释义 这一招是专门对付开放题的. 开放题有两种类型：一是开放条件；二是开放结论. 条件开放的试题，结论明确、解题方向清楚，但条件不足，也就是条件不充分，属于“必要不充分”的题型，我们的任务是补充能使结论成立的充分条件. 反之，结论开放的试题，条件充分，但结论不明确.我们的任务则是补充必要条件. ●典例示计 【例1】以下是武汉市某次高中调考中的一道数列题： 等差数列{an}的前n项和为Sn，若（a1+a3）2=9，an＜0（n∈N），则S10等于（ ）  这道题从正面解，你会发现无论走哪条路，都“差条件”，陷入欲进不得，欲罢不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把选项作条件来用呢？  本解使用的，正是“就地取材”的计策.如果你感到题干中的“条件不够”，陷入“山穷水复疑无路”的困境，不妨在选项中就地发现“柳暗花明又一村”. 那么，什么又是“无中生有”呢？请看 【例2】如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则实数对（x，y）可以是 （ ）   【例3】如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则x的取值范围是
 【评注】咋一看湖南这两道题，的确有“树高荫深，叫樵夫难以下手”之感。因为仅凭现有图形，是无论如何也难以找到正确答案的。唯一可行之路，就是“无中生有”了，于是笔者按要求随意画一条向量（即解图中的OP）试试看，又想到关于向量的问题多能用平移解决，在作出平行线PA1后，已是豁然开朗，成竹在胸了.这难道不是“无中生有”的神奇麽？  【例4】如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， E、F、G、H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点，N是BC 中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一 个条件即可，不必考虑全部可能情况）. 【思考】显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1， 为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥MN,只需过HN 作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,将线面平行的问题转化  为面面平行的问题. 【解析】连FH，当点M在HF上运动时，恒有 MN∥平面B1BDD1证明如下：连 NH ，HF，BD，B1D1， 且平面NHF交B1C1于P.则NH ∥BD，HF∥BB1，故 平面PNHF∥平面BB1D1D.MN ∴MN∥平面B1BDD1 【例5】 知F(x)是二次项系数为负数的二次函数， 且对于任何x∈R,f(2－x)=f(2+x)总成立，问f(1－2x2)与 f(1+2x－x2)满足什么条件时，才能使－2<x<0成立. 【思考】 根据已知条件很容易得到f(x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论. 【解答】 由题设知：函数f(x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.  当f(1－2x2)<f(1+2x－x2)时，1－2x2<1+2x－x2,
即x2+2x>0,解得x<－2或x>0,不能使－2<x<0成立. 当f(1－2x2)>f(1+2x－x2)时，1－2x2>1+2x－x2, 即x2+2x<0,解得－2<x<0,符合题意，当f(1－2x2)=f(1+2x－x2)时， 可得x=－2或0,不能使－2<x<0成立. ∴当f(1－2x2)>f(1+2x－x2)时，才能使－2<x<0成立. 【例1】 能否构造一个等比数列{an}，使其同时满足三个条件：①a1+a6=11;②a3a4=32/9;③至少存在一个自然数m,使  依次成等差数列.若能，请写出这个数列的通项公式.  化简得： 4(26－m)2－11·26－m－8=0,这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数.∴符合条件的m不存在. 综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3,数列的通项公式为：  【例6】 将二次函数f(x)=ax2+bx+c对应于一次函数g(x)=2ax+b. （1）求f(x)=x2+2x+1对应的一次函数g(x). （2）观察后请写出这个对应法则. （3）可以用g(x)的某些性质来研究f(x)的性质：当g(x)>0时，对应的f(x)的性质有哪些？ （4）你还能研究另外的某些性质吗？ （5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f(x)的三个不同的解析式. 【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整.f(x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可见，只有当g(x)=f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f(x)的某些性质. 【解答】 (1)∵a=1,b=2，∴g(x)=2x+2. （2）①g(x)的一次项系数是f(x)的二次项系数与其次数的积； ②g(x)的常数项等于f(x)的一次项系数.
(3)g(x)>0，即2ax+b>0,当a>0时，x>－b/2a,而x=－b/2a是f(x)的对称轴，故这时f(x)是单调增函数；a<0时,x<－b/2a,f(x)仍为单调  【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若A
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