高考数学兵法10招（2）就地取材，无中生有

数学高考10招（2）         就地取材  无中生有

●计名释义

这一招是专门对付开放题的.

开放题有两种类型：一是开放条件；二是开放结论.

条件开放的试题，结论明确、解题方向清楚，但条件不足，也就是条件不充分，属于“必要不充分”的题型，我们的任务是补充能使结论成立的充分条件.

反之，结论开放的试题，条件充分，但结论不明确.我们的任务则是补充必要条件.

●典例示计

【例1】以下是武汉市某次高中调考中的一道数列题：

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₁+a₃）²=9，a_n＜0（n∈N），则S₁₀等于（      ）

 

 

这道题从正面解，你会发现无论走哪条路，都“差条件”，陷入欲进不得，欲罢不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把选项作条件来用呢？

 

本解使用的，正是“就地取材”的计策.如果你感到题干中的“条件不够”，陷入“山穷水复疑无路”的困境，不妨在选项中就地发现“柳暗花明又一村”.

那么，什么又是“无中生有”呢？请看

【例2】如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则实数对（x，y）可以是                           （        ）

 

 【例3】如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则x的取值范围是

 

 

 【评注】咋一看湖南这两道题，的确有“树高荫深，叫樵夫难以下手”之感。因为仅凭现有图形，是无论如何也难以找到正确答案的。唯一可行之路，就是“无中生有”了，于是笔者按要求随意画一条向量（即解图中的OP）试试看，又想到关于向量的问题多能用平移解决，在作出平行线PA₁后，已是豁然开朗，成竹在胸了.这难道不是“无中生有”的神奇麽？

 

 

【例4】如图所示，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，

E、F、G、H分别是棱CC₁,C₁D₁,D₁D,DC的中点，N是BC

中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足条件

         时，就有MN∥平面B₁BDD₁（请填上你认为正确的一

个条件即可，不必考虑全部可能情况）.

【思考】显然HN∥BD，即得HN∥平面B₁BDD₁，

为使点M在平面EFGH内运动时总有B₁BDD₁∥MN,只需过HN

作平面，使之平行于平面在平面B₁BDD₁,将线面平行的问题转化

 

 

为面面平行的问题.

【解析】连FH，当点M在HF上运动时，恒有

MN∥平面B₁BDD₁证明如下：连 NH ，HF，BD，B₁D₁，

且平面NHF交B₁C₁于P.则NH ∥BD，HF∥BB₁，故

平面PNHF∥平面BB₁D₁D.MN平面PNHF，

∴MN∥平面B₁BDD₁

【例5】 知F(x)是二次项系数为负数的二次函数，

且对于任何x∈R,f(2－x)=f(2+x)总成立，问f(1－2x²)与

f(1+2x－x²)满足什么条件时，才能使－2<x<0成立.

【思考】 根据已知条件很容易得到f(x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.

【解答】 由题设知：函数f(x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.

 

       当f(1－2x²)<f(1+2x－x²)时，1－2x²<1+2x－x²,

即x²+2x>0,解得x<－2或x>0,不能使－2<x<0成立.

当f(1－2x²)>f(1+2x－x²)时，1－2x²>1+2x－x²,

即x²+2x<0,解得－2<x<0,符合题意，当f(1－2x²)=f(1+2x－x²)时，

可得x=－2或0,不能使－2<x<0成立.

∴当f(1－2x²)>f(1+2x－x²)时，才能使－2<x<0成立.

【例1】    能否构造一个等比数列{a_n}，使其同时满足三个条件：①a₁+a₆=11;②a₃a₄=32/9;③至少存在一个自然数m,使  

 

  依次成等差数列.若能，请写出这个数列的通项公式.

化简得： 4(2^6－m)²－11·2^6－m－8=0,这里Δ=11²+16×8=249不是完全平方数.∴符合条件的m不存在.

综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3,数列的通项公式为：

    

 

【例6】 将二次函数f(x)=ax²+bx+c对应于一次函数g(x)=2ax+b.

（1）求f(x)=x²+2x+1对应的一次函数g(x).

（2）观察后请写出这个对应法则.

（3）可以用g(x)的某些性质来研究f(x)的性质：当g(x)>0时，对应的f(x)的性质有哪些？

（4）你还能研究另外的某些性质吗？

（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f(x)的三个不同的解析式.

【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整.f(x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可见，只有当g(x)=f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f(x)的某些性质.

【解答】 (1)∵a=1,b=2，∴g(x)=2x+2.

（2）①g(x)的一次项系数是f(x)的二次项系数与其次数的积；

②g(x)的常数项等于f(x)的一次项系数.

 

(3)g(x)>0，即2ax+b>0,当a>0时，x>－b/2a,而x=－b/2a是f(x)的对称轴，故这时f(x)是单调增函数；a<0时,x<－b/2a,f(x)仍为单调

 

【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若AB,则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.