数姐有话 一元二次方程中跟与系数的关系,是中考的一个难点,在未来高中阶段,也是一个常考的点,所以,同学们在初学这块内容时,要多多研究透彻!
知识点睛 1.一元二次方程根的判别式的定义: 运用配方法解一元二次方程过程中得到 ,显然只有当时,才能直接开平方得:. 也就是说,一元二次方程只有当系数a、b、c满足条件时才有实数根.这里叫做一元二次方程根的判别式. 2.判别式与根的关系: 在实数范围内,一元二次方程的根由其系数a、b、c确定,它的根的情况(是否有实数根)由确定. 判别式:设一元二次方程为,其根的判别式为:则 ①方程有两个不相等的实数根. ②方程有两个相等的实数根. ③方程没有实数根. 若a、b、c 为有理数,且Δ为完全平方式,则方程的解为有理根;若Δ为完全平方式,同时是2a的整数倍,则方程的根为整数根. (1)用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用,当方程有两个不相等的实数根时,Δ>0;有两个相等的实数根时,Δ=0;没有实数根时,Δ<0. (2)在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根).当=0时,方程有两个相等的实数根(二重根),不能说方程只有一个根. ① 当a>0时,抛物线开口向上,顶点为其最低点; ② 当a<0时,抛物线开口向下,顶点为其最高点. 3.一元二次方程的根的判别式的应用: 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用: (1)运用判别式,判定方程实数根的个数; (2)利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围; (3)通过判别式,证明与方程相关的代数问题; (4)借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题. 如果一元二次方程的两根为 那么,就有 比较等式两边对应项的系数,得 ①式与②式也可以运用求根公式得到.人们把公式①与②称之为韦达定理,即根与系数的关系. 因此,给定一元二次方程就一定有①与②式成立.反过来,如果有两数满足①与②,那么这两数必是一个一元二次方程的根.利用这一基本知识常可以简捷地处理问题. 利用根与系数的关系,我们可以不求方程的根,而知其根的正、负性. 在的条件下,我们有如下结论: 当时,方程的两根必一正一负.若,则此方程的正根不小于负根的绝对值;若,则此方程的正根小于负根的绝对值. 当时,方程的两根同正或同负.若,则此方程的两根均为正根;若,则此方程的两根均为负根. ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面: ① 已知方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值; ② 已知方程,求关于方程的两根的代数式的值; ③ 已知方程的两根,求作方程; ④ 结合根的判别式,讨论根的符号特征; ⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题:当已知等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根,以便利用韦达定理; ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后,一定要验证方程的Δ.一些考试中,往往利用这一点设置陷阱. 数姐整理,转载请注明:文章来自初中数学微信公众号! |
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