2016年普通高等学校招生全国统一考试 全国丙卷 文科数学

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试题类型：

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

 

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       1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

       2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

       3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

       4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一.  选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合，则C_AB=

（A）              （B）           （C）               （D）

（2）若，则=

（A）1                        （B）                  （C）                    （D）

（3）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=

（A）30°             （B）45°

（C）60°             （D）120°

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃。下面叙述不正确的是

（A）各月的平均最低气温都在0℃以上

（B）七月的平均温差比一月的平均温差大

（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同

（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个

（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

（A）     （B）     （C）        （D）

（6）若tanθ= ，则cos2θ=

（A）    （B）      （C）     （D）

（7）已知，则

(A)b<a<c                 (B) a < b <c                          (C) b <c<a                   (D) c<a< b

（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=

（A）3

（B）4

（C）5

（D）6

 

（9）在△ABC中 ，B=

(A)        (B)     (C)       (D)

 

 

（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A）

（B） 

（C）90

（D）81

 

 

 

（11）在封闭的直三棱柱ABC－A₁B₁C₁内有一个体积为V的球。若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA₁=3，则V的最大值是

（A） （B）（C）（D）

（12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

（A）     （B）     （C）     （D）

 

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13 ~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 ~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

   

（13）设x，y满足约束条件 则z=2x+3y–5的最小值为______.

（14）函数y=sin x–cos x的图像可由函数y=2sin x的图像至少向右平移______个单位长度得到.

（15）已知直线l：与圆x²+y²=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|=______.

（16）已知f(x)为偶函数，当 时，，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式是_____________________________.

             

三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知各项都为正数的数列满足，.

（I）求；

（II）求的通项公式.

（18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图。

注：年份代码1~7分别对应年份2008~2014.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，，≈2.646.

参考公式： 

          回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（I）证明MN∥平面PAB;

（II）求四面体N-BCM的体积.

 

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线C：y²=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l₁，l₂分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

 

（21）（本小题满分12分）

设函数.

（I）讨论的单调性；

（II）证明当时，；

（III）设，证明当时，.

请考生在22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。

（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。

 

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（）=.

（I）写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；

（II）设点P在C₁上，点Q在C₂上，求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标.

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)=∣2x-a∣+a.

（I）当a=2时，求不等式f(x) ≤6的解集；

（II）设函数g(x)=∣2x-1∣.当x∈R时，f(x)+ g(x) ≥3，求a的取值范围。