角平分线定理（初中）

大家好，今天我来为大家带来的是角平分线定理以及一些延伸内容。注意，这里的角平分线定理并不是指做双垂直然后相等的那个orz那个属于角平分线的基本性质。

1. 知识点

（下面的面积比如SABC会用 [ABC]代替）

1.1那么首先来看一下内角平分线定理。

在三角形ABC中，D为

证明：作点D到AB和CB的垂线DE和DF。作出AC边上的高BH

       那么[ABD]=1/2·AB·DE=1/2·AD·BH，[CBD]=1/2·CD·DF=1/2·CD·BH

∴[ABD]/[CBD]=(AB·DE)/(CB·DF)=AD/CD

∵DE=DF （角平分线的性质）

∴AD/CD=AB/CB

1.2接下来的是外角平分线定理

已知BE为<>

那么AB/CB=AE/CE

证明：[EAB]=1/2·BE·AB·sin

           [ECB]=1/2·BE·CB·sin

∴[EAB]/[ECB]=AB/CB=AE/CE

以上就是内外角平分线定理。

据我所知内角平分线定理用的更多一些。涉及到角平分线的情况下，这是最基础的倒边的定理（好像没有之一了> >）。

1.3（扩展） 然后其实E、A、D、C为调和点列（参见2.1第一次推送）。我们来证明一下吧

证明：结合上面证明的两个角平分线定理，得到AB/CB=AD/CD=AE/CE

∴AD·CE=AE·CD，E、A、D、C为调和点列

那下面我们来练一练手吧。

2.例题

1）已知三角形ABC中，<>

2）已知三角形ACB中，<><>
3）（拓展）A为圆外一点，B、C为A与圆的切点，D为圆上一点。如图，AD与圆交于F，与BC交于E。求证：D、E、F、A为调和点列

3.解答

1）∵BD为<>

∴AD/CD=3=AB/CB

∴AB=3CB

然后就是必须满足三角形不等式AB+CB>AC

4CB>4CD

∴CB>3

ABC周长=4CB+12，CB最小时ABC周长最小

∴CB=4，ABC周长=28

2）在AC边上取CE=CD，连结DE

∵

∴<><>

∴三角形ADE相似于ABC，AD/AB=DE/BC

又∵D为<>

∴AD/BD=AC/BC=4/9

∴AD/AB=4/13

CD=DE=BC·AD/AB=36/13

3）（拓展）

证：如图连结各点（我懒得写了??）

证：

根据弦切角定理，<><>

∴AB/AD=AF/AB，AB^2=AF·AD

又∵AGB与ABO相似

∴AG/AB=AB/AO，AB^2=AG·AO

∴AF/AO=AG/AD，AFG与AOD相似

<><>

∴<><><><>

∴<><>

又∵<>

根据之前1.3推倒的小结论，D、E、F、A为调和点列。

总之应用起来大概就是这种感觉> >

然后预告一下，下面一期小编我估计要休一次假QvQ作为出国党SAT迫近。。