构造法求递推数列的通项公式

一、构造等差数列法

例1. 在数列{a_n}中，，求通项公式a_n。

解：对原递推式两边同除以可得：

①

令 ②

则①即为，则数列{b_n}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。

故所求的通项公式是

二、构造等比数列法

1. 定义构造法

利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。

例2. 设在数列{a_n}中，，求{a_n}的通项公式。

解：将原递推式变形为

①

②

①/②得：，

即 ③

设 ④

③式可化为，则数列{b_n}是以b₁＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：＝，解得为所求。

2. （A、B为常数）型递推式

可构造为形如的等比数列。

例3. 已知数列，其中，求通项公式。

解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。

3. （A、B、C为常数，下同）型递推式

可构造为形如的等比数列。

例4. 已知数列，其中，且，求通项公式a_n。

解：将原递推变形为，设b_n＝。 ①

得 ②

设②式可化为，比较得于是有

数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。

所以，即，代入①式中得：

为所求。

4. 型递推式

可构造为形如的等比数列。

例5. 在数列中，，求通项公式。

解：原递推式可化为，比较系数可得：，，上式即为是一个等比数列，首项

，公比为。

所以。

即，故为所求。

三、函数构造法

对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。

例6. 在数列中，，求通项公式a_n。

分析：首先考虑所给递推式与公式的联系。

解：设，则同理，，…。

即，猜想。下面用数学归纳法加以证明（证明略）。

由于即，解得，于是

为所求。