2015-2016学年安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一中、铜陵一中高三(上)第三次联考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数的基本概念.
【分析】先化简, ===﹣i,从而可知所在象限.
【解答】解:∵===﹣i,
故复数在复平面上对应的点位于第四象限,
故选D.
2.设a、b为两条不同的直线,α为一个平面,下列命题中为真命题的是( )
A.若a∥b,a∥α,则b∥α B.若a⊥b,a∥α,则b⊥α
C.若a∥b,a⊥α,则b⊥α D.若a⊥b,a⊥α,则b∥α
【考点】四种命题.
【分析】根据空间中的平行与垂直的关系即可判断.
【解答】解:对于A,若a∥b,a∥α,则b∥α,或b?α,故A错误,
对于B,若a⊥b,a∥α,则b∥α或b?α或b⊥α,故B错误,
对于C,若a∥b,a⊥α,则b⊥α,故正确,
对于D,若a⊥b,a⊥α,则b∥α或b?α,故D错误,
故选:C.
3.设,则A∩B=( )
A.{(﹣1,1)} B.{(0,1)} C.[﹣1,0] D.[0,1]
【考点】对数函数的定义.
【分析】分别求出两个函数的定义域和值域得到集合A,B,结合集合的交集运算定义,可得答案.
【解答】解:∵由1﹣x2≥0得:x∈[﹣1,1],
∴A=[﹣1,1],
∵y=lg(1﹣x2)≤lg1=0得:
∴B=(﹣∞,0],
∴A∩B=[﹣1,0],
故选:C
4.p:x2﹣3x+2≤0成立的一个必要不充分条件是( )
A.x>1 B.x≥1 C.1≤x≤2 D.1<x<2
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】求出不等式的等价条件,结合必要不充分条件的定义进行判断即可.
【解答】解:由x2﹣3x+2≤0得1≤x≤2,
则p的必要不充分条件是x≥1,
故选:B.
5.设x,y满足约束条件,则2x﹣y的最小值是( )
A.﹣4 B. C.0 D.6
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
令z=2x﹣y,化为y=2x﹣z.
由图可知,当直线y=2x﹣z过A(0,4)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为﹣4.
故选:A.
6.若先将函数图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再将所得图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
A. B. C. D.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得y=2sinx,利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及正弦函数的图象和性质即可得解.
【解答】解:∵=2sin[(x﹣)+]=2sinx,
∴先将函数图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,可得函数为:y=2sinx,
再将所得图象向左平移个单位,所得函数为:y=2sin(x+)=2sin(+),
∴由+=kπ+,k∈Z,可解得对称轴的方程是:x=2kπ+,k∈Z,当k=0时,可得函数图象的一条对称轴的方程是:x=.
故选:D.
7.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )
A. B. C. D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图判断几何体的形状,根据它的几何性质得出,利用三角形求出表面积.
【解答】解:根据三视图得出该几何体为三棱锥,如图所示:
PC⊥面ABC,CD⊥AD于D,AB=1,CD=1,PC=1,
∴S△ABC=×1×1=,S△PAC=S△PBC=×1×=,
S△PAB=×1×=;
所以该三棱锥的表面积为S=+2×+=.
故选:D.
8.函数在[﹣2π,2π]上的大致图象是( )
A. B. C. D.
【考点】正弦函数的图象.
【分析】取x为非常小的锐角和非常接近2π(小于2π)的角,结合图象排除即可.
【解答】解:当x为非常小的锐角时,(x﹣)<0,sinx>0,
∴f(x)=(x﹣)sinx<0,排除B、D;
当x为非常接近2π(小于2π)的角时,(x﹣)>0,sinx<0,
∴f(x)=(x﹣)sinx<0,排除A,
故选:C
9.已知a>﹣1,b>﹣2,(a+1)(b+2)=16,则a+b的最小值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】由a>﹣1,b>﹣2,可得a+1>0,b+2>0,则a+b=(a+1)+(b+2)﹣3,再由基本不等式即可得到所求的最小值.
【解答】解:由a>﹣1,b>﹣2,
可得a+1>0,b+2>0,
则a+b=(a+1)+(b+2)﹣3
≥2﹣3
=2×4﹣3=5,
当且仅当a+1=b+2=4,即a=3,b=2,取得最小值5.
故选:B.
10.已知||=8,||=6,∠BAC=, =, =2,线段BE与线段CD交于点G,则||的值为( )
A.4 B. C.2 D.5
【考点】向量的模.
【分析】利用向量模的关系,建立坐标系,求出相关点的坐标,分别求出直线CE,DB的方程,求出交点即G点的坐标,然后求解向量的模即可.
【解答】解:以A点为原点,以为x轴,建立如图所示的坐标系,
∵||=8,||=6,∠BAC=, =, =2,
∴A(0,0),B(8,0),E(4,0),D(2,2),C(3,3),
∴直线CE的方程为=,即3x+y﹣12=0,①
直线DB的方程为=,即x+y﹣8=0,②
由①②构成方程组,解得,
∴点G(,),
∴=(,),
∴||==,
故选:B
11.已知f(x﹣1)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】利用f(x﹣1)是偶函数,可得f(﹣x)=f(x﹣2),f()=f(﹣3)=f(1),根据x>0, ,f(x)在(0,+∞)上单调递增,即可得出结论.
【解答】解:∵f(x﹣1)是偶函数,
∴f(﹣x﹣1)=f(x﹣1),
∴f(﹣x)=f(x﹣2),
∴f()=f(﹣3)=f(1),
∵x>0, ,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴.
故选:C.
12.已知数列{an}满足,则a2016除以4所得到的余数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】数列的概念及简单表示法.
【分析】数列{an}满足,可得a1=a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,a8=21,a9=34,a10=55,a11=89,a12=144,…,为斐波那契数列,可得an除以4d的余数分别为:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,即可得出周期性.
【解答】解:∵数列{an}满足,
∴a1=a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,a8=21,a9=34,a10=55,a11=89,a12=144,…,
为斐波那契数列,
∴an=,
可得an除以4d的余数分别为:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,
其余数的周期为6,
而2016=4×504,
∴a2016除以4所得到的余数是0.
故选:A.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知公差不为0的等差数列{an},a1,a3,a11成等比数列,则= .
【考点】等比数列的性质;等差数列的性质.
【分析】由题意可得(a1+2d)2=a1×(a1+10d),可得.
【解答】解:∵公差不为0的等差数列{an},a1,a3,a11成等比数列,
∴a32=a1·a11,代入数据可得(a1+2d)2=a1×(a1+10d),
解得=.
故答案为:.
14.△ABC中,,则cosC= .
【考点】两角和与差的余弦函数.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA、cosB的值,再利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得cosC的值.
【解答】解:△ABC中,∵,∴sinA==>sinB,∴A>B;
cosB==,
则cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣+=,
故答案为:.
15.已知点M是△ABC所在平面内的一点,且满足,则△ABM与△ABC的面积之比为 4:7
.
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】根据条件作出平行四边形,根据各线段的比例关系寻找对应三角形的面积比.
【解答】解:连接AM,BM,延长AC至D使AD=4AC,延长AM至E使AE=7AM,连接BE,则四边形ABED是平行四边形.
∵AD=4AC,AE=7AM,
∴S△ABC=S△ABD,S△AMB=S△ABE,
∵S△ABD=S△ABE,∴S△ABM:S△ABC=: =4:7.
故答案为4:7.
16.两个同底的正四棱锥内接于同一个球,两个四棱锥侧面与底面形成的角分别为α与β,则tan(α+β)的取值范围是
.
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】如图可得∠SEH
和∠MEH即为两个正四棱锥的侧面和底面成的角,设球的半径为R,不妨球心O在平面ABCD的上方,平面ABCD所在的小圆的半径为r
则R≥r.不妨设∠SEH=α,∠MEH=β,求得tanα 和tanβ
的值.由于SH+MH=2R,再根据tan(α+β)==﹣2·≤﹣2,从而得到tan(α+β)的范围.
【解答】解:如图:正四棱锥S﹣ABCD和正四棱锥M﹣ABCD的六个顶点
在同一个球面上,设球的半径为R,不妨球心O在平面ABCD的上方,
平面ABCD所在的小圆的半径为r 则R≥r,≥1.
则由题意可得SM=SH+MH=2R.
取ABCD的中心为H,取AD的中点E,则由正四棱锥的性质,
可得∠SEH 和∠MEH即为两个正四棱锥的侧面和底面成的角,
不妨设∠SEH=α,∠MEH=β.
∵OH==,EH=AH=r,
∴SH=R﹣,MH=R+.
故tanα==,tanβ==,
tan(α+β)====﹣2·≤﹣2,
当且仅当R=r,即ABCD所在的圆为大圆时,取等号.
故 tan(α+β)的范围为:,
故答案为:.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知.
(1)求的值;
(2)若,求f(x)的值域.
【考点】三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的值域.
【解答】解:(1)由于.
∴.
(2)∵,∴,∴.
18.已知函数f(x)=ex+ax2+bx+c,a,b,c∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为3x﹣y+2=0,求b,c的值;
(2)若b=0,且f(x)在上单调递增,求实数a的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求得f(x)的导数,由题意可得f(0)=2,f′(0)=3,解方程组可得b,c的值;
(2)求得b=0时,f(x)的导数,由题意可得ex+2ax≥0,即有a≥﹣在[,+∞)上恒成立.令g(x)=﹣,求出导数和单调区间,可得g(x)的最大值,即可得到a的范围.
【解答】解:(1)函数f(x)=ex+ax2+bx+c的导数为f′(x)=ex+2ax+b,
由题意可得;
(2)b=0时,f(x)=ex+ax2+c,导数f′(x)=ex+2ax,
由f(x)在上单调递增,可得f′(x)≥0在[,+∞)上恒成立,
即ex+2ax≥0,即有a≥﹣在[,+∞)上恒成立.
令,
则在上递增,在(1,+∞)上递减,
∴g(x)max=g(1)=﹣,
∴.
19.已知数列{an}满足a1=,an=(n≥2).
(1)求证:{﹣1}为等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)若bn=,求{bn}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;等比关系的确定.
【分析】(1)由已知得=,从而,n≥2,由此能证明{﹣1}为首项为1,公比为2的等比数列,从而能求出{an}的通项公式.
(2)由bn==(2n﹣1)(2n﹣1+1)=(2n﹣1)·2n﹣1+2n﹣1,利用分组求和法和错位相减求和法能求出{bn}的前n项和Sn.
【解答】证明:(1)∵数列{an}满足a1=,an=(n≥2),
∴=,n≥2
∴,n≥2,
又,
∴{﹣1}为首项为1,公比为2的等比数列,
∴,,
∴.
解:(2)∵bn===(2n﹣1)(2n﹣1+1)=(2n﹣1)·2n﹣1+2n﹣1,
∴{bn}的前n项和:
Sn=1+3·2+5·22+…+(2n﹣1)·2n﹣1+2(1+2+3+…+n)﹣n
=1+3·2+5·22+…+(2n﹣1)·2n﹣1+2×﹣n
=1+3·2+5·22+…+(2n﹣1)·2n﹣1+n2,①
2Sn=2+3·22+5·23+…+(2n﹣1)·2n+2n2,②
②﹣①,得Sn=﹣1﹣(22+23+…+2n)+(2n﹣1)·2n+n2
=﹣1﹣+(2n﹣1)·2n+n2
=(2n﹣3)·2n+3+n2.
∴{bn}的前n项和Sn=(2n﹣3)·2n+3+n2.
20.在如图所示的圆锥中,PO是圆锥的高,AB是底面圆的直径,点C是弧AB的中点,E是线段AC的中点,D是线段PB上一点,且PO=2,OB=1.
(1)若D为PB的中点,试在PB上确定一点F,使得EF∥面COD,并说明理由;
(2)若PB⊥CD,求直线AC与面COD所成角θ的正弦值.
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)连接BE,设BE∩OC=G,连接DG,推导出EF∥DG,从而DF=PF=,由此得到点F是PB上靠近点P的四等分点.
(2)过点A作AD1⊥DO,则AD1⊥面COD,由此能求出直线AC与面COD所成角θ的正弦值.
【解答】解:(1)连接BE,设BE∩OC=G,由题意G为△ABC的重心,
∴,连接DG,
∵EF∥平面COD,EF?平面BEF,面BEF∩面COD=DG,
∴EF∥DG,
∴,
又BD=DP,∴DF=PF=,
∴点F是PB上靠近点P的四等分点.
(2),
由平面几何知识知,
过点A作AD1⊥DO,垂足为D1,∴AD1⊥面COD,
由,
又直线AC与面COD所成角θ,即,
∴直线AC与面COD所成角θ的正弦值为.
21.设函数f(x)=x·1nx,g(x)=ax2﹣2ax+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若x∈[1,2],a∈[1,2],求证:f(x)≥g(x).
【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】(1)求导f′(x)=1+1nx,从而由导数的正负确定函数的单调性;
(2)构造函数F(x)=f(x)﹣g(x)=x·1nx﹣ax2+2ax﹣1,从而求导F′(x)=1+lnx﹣2ax+2a,F″(x)=﹣2a,从而确定函数的最小值即可.
【解答】解:(1)∵f(x)=x·1nx,f′(x)=1+1nx,
故当x∈(0,)时,f′(x)<0;
当x∈(,+∞)时,f′(x)>0;
故f(x)的单调减区间为(0,),
单调增区间为(,+∞);
(2)证明:令F(x)=f(x)﹣g(x)=x·1nx﹣ax2+2ax﹣1,
故F′(x)=1+lnx﹣2ax+2a,F″(x)=﹣2a,
∵x∈[1,2],a∈[1,2],
∴F″(x)=﹣2a<0,
∴F′(x)在[1,2]上是减函数,
又∵F′(1)=1+0=1>0,F′(2)=1+ln2﹣4a+2a=1+ln2﹣2a<0,
∴F(x)在[1,2]上先增后减,
故F(x)的最小值在x=1或x=2上取得,
而F(1)=1ln1﹣a+2a﹣1=a﹣1≥0,(a∈[1,2]);
F(2)=2ln2﹣4a+4a﹣1=2ln2﹣1=ln4﹣1>0,
故F(x)≥0恒成立,即f(x)≥g(x).
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-1:几何证明选讲.
22.已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.
(Ⅰ)求证:AC平分∠BAD;
(Ⅱ)求BC的长.
【考点】圆的切线的性质定理的证明;圆內接多边形的性质与判定.
【分析】(Ⅰ)连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,再证明OC∥AD,即可证得AC平分∠BAD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而BC=CE,利用ABCE四点共圆,可得∠B=∠CED,从而有,故可求BC的长.
【解答】(Ⅰ)证明:连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,
因为CD为半圆的切线,所以OC⊥CD,
又因为AD⊥CD,所以OC∥AD,
所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD,所以AC平分∠BAD.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,∴BC=CE,
连接CE,因为ABCE四点共圆,∠B=∠CED,所以cosB=cos∠CED,
所以,所以BC=2.
选修4-4:坐标系与参数方程.
23.在平面直角坐标系xOy中,已知C1:(θ为参数),将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4
(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程;
(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最小,并求此最小值.
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】(1)把C1消去参数化为普通方程为
x2+y2=1,再化为极坐标方程.根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程,再化为极参数方程.
(2)先求得直线l的直角坐标方程,设点P(cosθ,2sinθ),求得点P到直线的距离为d=,故当sin(θ+)=1时,即θ=2kπ+,k∈z时,点P到直线l的距离的最小值,从而求得P的坐标以及此最小值
【解答】解:(1)把C1:(θ为参数),消去参数化为普通方程为
x2+y2=1,
故曲线C1:的极坐标方程为ρ=1.
再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1,即 +=1.
故曲线C2的极参数方程为 (θ为参数).
(2)直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4,即
x+y﹣4=0,设点P(cosθ,2sinθ),
则点P到直线的距离为d==,
故当sin(θ+)=1时,d取得最小值,此时,θ=2kπ+,k∈z,点P(1,),
故曲线C2上有一点P(1,)满足到直线l的距离的最小值为﹣.
选修4-5:不等式选件.
24.函数f(x)=.
(Ⅰ)若a=5,求函数f(x)的定义域A;
(Ⅱ)设B={x|﹣1<x<2},当实数a,b∈B∩(?RA)时,求证:<|1+|.
【考点】不等式的证明;集合的包含关系判断及应用;函数的定义域及其求法.
【分析】(Ⅰ)根据题意,得|x+1|+|x+2|﹣5≥0;求出x的取值范围,即是f(x)的定义域A;
(Ⅱ)由A、B求出B∩CRA,即得a、b的取值范围,由此证明成立即可.
【解答】解:(Ⅰ)a=5时,函数f(x)=,
∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0;
即|x+1|+|x+2|≥5,
当x≥﹣1时,x+1+x+2≥5,∴x≥1;
当﹣1>x>﹣2时,﹣x﹣1+x+2≥5,∴x∈?;
当x≤﹣2时,﹣x﹣1﹣x﹣2≥5,∴x≤﹣4;
综上,f(x)的定义域是A={x|x≤﹣4或x≥1}.
(Ⅱ)∵A={x|x≤﹣4或x≥1},B={x|﹣1<x<2},
∴?RA=(﹣4,1),
∴B∩CRA=(﹣1,1);
又∵,
而;
当a,b∈(﹣1,1)时,
(b2﹣4)(4﹣a2)<0;
∴4(a+b)2<(4+ab)2,
即.
2016年9月30日
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