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0 题记 阅读提示 本文主要讨论Lagrange中值定理的各种形式（简化形、标准形、参数形&加强形）及其应用：
1 拉格朗日中值定理 那么存在一点
拉格朗日中值定理是微分学的核心，有三种不同的形式；且有极为重要的应用！ 1.1 几何&物理意义 由下图可知，拉格朗日中值定理的几何意义是非常直观的，几乎所有的教材都会介绍. 其 classical 证明就是基于几何意义构造辅助函数. 其物理意义为： 物体从a沿着曲线f(x)运动到b的平均速度会等于某一时刻ξ的瞬时速度. 1.2 有限增量公式 将拉格朗日中值定理 稍微变下形，则有 继续变形可以得到有限增量公式： 其中 将其与函数可微做一下比较： 你有发现什么了吗？ 没错，
去整容了，尾巴
虽然其中还有小手术留下的内创伤(不确定性因素
就是这一小步，使得Lagrange定理变成微分学的一大步. 利用它可以解决很多之前无法解决的问题. 1.3 两个重要的推论 根据拉格朗日中值定理，很容易得到如下两个推论.  第1个推论经常用来证明一些恒等式，而第2个推论在不定积分理论中起着支柱性作用. 之后我们再来详细讨论. 2 拉格朗日中值定理的其他三种形式 2.1 简化形式（罗尔中值定理） (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) ?(a)=?(b). 则至少存在一点 2.2 参数形式（柯西中值定理） 如果函数f(x)与g(x)满足以下条件， (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) 对任意
2.3 加强形式（泰勒中值定理） 设函数
罗尔中值定理在证明与中值ξ有关的命题时，有着极为重要的作用；而题目中若涉及两个函数时，通常考虑使用柯西中值定理. 泰勒中值定理的威力巨大，但其学习难度也陡增. 选择什么余项（Peano还是Lagrange型余项）？在哪一点泰勒展开？是在一点展开还是在多点展开再复合？这些都有着非常强的技巧.
不过，你一旦掌握了泰勒中值定理，自然会有一种豁然开朗、醍醐灌顶的感觉；当你再回过头去看之前的那些理论，就有“会当凌绝顶，一览纵山小”的意境！ 3 拉格朗日中值定理的应用 3.1 求极限 光看不练假把式！！！ 3.2 证明恒等式
3.3 证明不等式 3.4 讨论函数性质 在拉格朗日中值定理中
a，b 可以相距十万八千里, 或更多的筋斗云，都是允许的，然而却还是在“如来”的掌控之中. 不对，应该是在拉格朗日的掌控之中. 因此拉格朗日中值定理可以用导数的局部性质来研究函数在大范围上(整体)的性质. 比如: 单调性，凹凸性等等. 于是拉格朗日中值定理为我们今后研究函数的各种性态提供了强大的工具，用起来特方便，反正，谁用谁知道！ 3.5 证明与中值ξ有关的命题 3.6 不定积分的理论支柱 拉格朗日中值定理的上述两个应用，我们以后再来详细讨论~
---答案下期揭晓. |
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