数学公式记不住肿么破？

有一种饮料叫“喝前摇一摇”

有一类公式要“考前背一背”

数学公式繁多，如果实在记不住，那进考场前3分钟，赶紧突击一下吧。

另外，还有一种方法，就是平时把那些难记的公式都推导一遍。

从今天开始，小编将陆续介绍高等数学中那些“以一当十”的公式系列。所谓的“以一当十”是指，通过一个公式可以推导出很多其他公式。

公式系列

先剧透一下！

• 利用复合函数链式求导可以推导所有求导法则（除四则运算法则）；

• 利用欧拉公式可推导所有三角函数公式；

• 利用两个重要极限可推导所有的等价无穷小和基本初等函数求导公式；

• 利用万能体积公式可以推导中学所有拟柱体的体积；

• 利用Stokes公式可以推导牛顿-莱布尼兹、格林、高斯、斯托克斯公式；

如果大家在学习高等数学过程中，发现其它“以一当十”的公式，请在文末给小编留言吧~

今天首先介绍复合函数的链式求导法则。

链式法则

熟练掌握复合函数的链式求导对于学好高等数学至关重要，如果对此都不熟练的话，那小编可以肯定地告诉你，你绝对要被高等数学虐哭的！

 

一般上课时，老师都会形象而又生动地告诉你们如何使用链式法则：就是把复合函数看成一个大洋葱，然后一层一层地剥皮，因为洋葱有股刺鼻的味道，如果说之前还能忍受，当你看到洋葱心的那一瞬间，再也抑制不住内心的激动，眼泪哗啦啦地就流出来了！

简言之，剥洋葱要剥到眼泪流出来为止，因为这时你已看见洋葱心啦~

复合函数求导的一般步骤

① 先把复合函数的复合结构和复合次序搞清楚；

② 从外向内逐层求导（剥皮），直至自变量（洋葱心）为止。

说多了都是泪，再剥几个洋葱吧。

例1

解答

例2

解答

例3

解答

例4

解答

接下来，我们用复合函数的链式求导法则推导：反函数求导、隐函数求导、参数形式函数求导、对数求导法、变限函数求导等等。

严格证明请参考教材！

因此，只要你熟练掌握了链式求导，那么其他求导法则，自然就不在话下。

常用法则推导

看到上面对数求导的基本公式，马上就有同学提出质疑，这不是越来越复杂了吗？本来要求导数，你现在却要求更复杂的函数导数。

是的，这个公式的意义就在于在有些情况下 的导数要比直接求 的导数要容易得多。

对数求导法主要适用于如下两类函数：

例5

解答

例6

解答

例7

解答

本文结束之前，先看两个问题：

1. 能否看成和的复合函数？

2. 的正确打开方式是还是？

思考题