2016-12-29 献给业余数学之王:澄清对费马原理的误解本文作者:physixfan 2011年8月17日,是费马(Pierre de Fermat)诞辰410周年。今天,谷歌推出新涂鸦———费马大定理以纪念这位最专业的业余数学家 2011年8月17日,是费马(Pierre de Fermat)诞辰410周年。今天, 谷歌推出新涂鸦——费马大定理以纪念这位最专业的业余数学家。 除了费马大定理,相信大家也一定都听说过费马原理。它通常被表述为过空间中两定点的光,实际路径总是光程(或者时间)最短。费马原理是一条十分令人着迷的原理,从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律,几乎包含了几何光学的全部内容。然而,对于这个原理,很多人都存在着或多或少的误解,这是由于费马原理表述有误造成的。在今天这个有纪念意义的日子里,本文就来一一澄清。 首先说明一点,在费马原理的表述中,光程和光传播所用的时间是等效的,因为这两个量之比就是真空中的光速c。所以本文中后面只说光程而不说时间。 不妨先看看 百度百科 给出的费马原理的定义:光波在两点之间传递时,自动选取费时最少的路径。这是一种很常见的错误表述,只要看下面这个平面镜反射的例子就知道了。
那如果费马原理表述成:过两个定点的光总走光程极小的路径,是不是就正确了呢?其实这仍是一种错误的表述。光程取极小值只是一种常见情形,也存在其他情形。 首先举一个光程是定值的例子,如下图的椭圆形反射镜。
再举一个光程取极大值的例子,如下图:
那如果费马原理表述成:过两个定点的光总走光程为极大值、极小值或者定值的路径,是不是就正确了呢?这是物理专业课本中的表述,但仍然不够准确。仍以上图为例,说黑色光线取了极大值,其实是不准确的。因为只要本该是直线的光线稍微一弯曲,光程就会变得更长,从这个角度来讲,这又是一种极小值了。所以单说它是极大值还是极小值都不够准确。理解这种既极大又极小的函数也很简单,看看双曲抛物面的形状就可以了
因此如果把以上种种情形都考虑进去的话,费马原理将被叙述得很长。但其实在数学上有一种表述方法既准确又精炼,那就是:过两个定点的光总走光程的一阶变分为零的路径。 至于什么是变分,可以做如下理解:变分之于泛函,就相当于微分之于函数。而泛函则是函数的函数(以函数为自变量的特殊的函数),因为光线的路径本身是函数,而光程又是路径这个函数的函数,因此光程是泛函。所谓一阶变分为零,其实就和一阶导数为零意思相近。这种表述就自动包括了取极小值、极大值、定值、鞍点这些种种情况了。 最后,为了更加严谨,突出费马原理的充分必要性,其实费马原理的最准确表述应该是:过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。 //原载于果壳网 |
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