5个看似巨简单的数学问题至今无人能破

编者按：

数学有时候会变得特别复杂，然而幸好不是所有的数学问题都晦涩难懂。这篇文章将会向大家介绍数学领域中五个有趣的问题，问题本身简单易懂，但迄今仍未被数学家们解决。

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1. Collatz猜想

图片来源：Jon McLoone

Collatz猜想是一个简单有趣而又没有解决的数学问题。克拉兹问题（Collatz problem）也被叫做hailstone问题、3n+1问题、Hasse算法问题、Kakutani算法问题、Thwaites猜想或者Ulam问题。是指：随意选一个整数，如果它是偶数，那么将它除以2；如果它是奇数，那么将它乘以3再加1。对于得到的新的数，重复操作上面的运算过程。如果你一直操作下去，你每次都终将得到1。

德国数学家Collatz于1937年首次提出这个问题，题意清晰、明了、简单，连小学生都能看懂，得到许多大数学家的关注。日本角谷静夫谈到该猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果。同样的事情好象也在芝加哥大学发生了。有人猜想，这个问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。”著名学者盖伊(R.K.Guy)在介绍这一问题的时，竟然冠以'不要试图去解决这些问题'为标题。匈牙利著名的多产数学家保罗·埃尔德什（Paul Erd?s）曾评论说，“数学还没有为这类问题做好准备”，认为这个猜想在现阶段难以解决。

 邬家邦先生的《3N+1猜想》（湖南大学出版社，2001年）是国内较全面介绍、论述该问题的著作。该书说，“3N+1猜想之所以难以攻克，原因就在于对一般的n∈N,n的迭代轨迹序列这的元素排列杂乱无章，无规律可循”。

 也有的数学家认为，这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求。该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域。目前也有部分数学家和数学爱好者，在进行关于“负数的3x＋1”、“5x＋1”、“7x＋1”等种种考拉兹猜想的变化形命题的研究。

 许多学者对大量的自然数做了检验，均未发现反例。荷兰学者Eric Roosendaal在他的网站 (《 On the 3x + 1 problem》http://www./wondrous/index.html) 上，介绍了世界上研究该问题的主要成果，并组织了世界范围的分布式计算，不断公布计算结果，2^60以内的数字均通过了验证。

 关于 3x+1 问题以及相关问题的会议 1999 年 8 月在德国的 Eichst?tt 大学举行。会议参与者有:K. M. Monks(美国), Ken G. Monks (美国), Paul Andaloro (美国), Günther Wirsching (德国), Manfred Kudlek (德国) Ranan Banerji (美国), Jeffrey Lagarias (美国), Dierk Schleicher (德国),Marc Chamberland (美国), Jean-Louis Rouet (法国), Eric Roosendaal (荷兰), U. Fitze(瑞士),Marc Feix (法国),Edward Belaga (法国)等。

 2011年5月，德国Gerhard Opfer在《Mathematics of Computation》上发表了一篇论文(预印本PDF)，宣称证明了考拉兹猜想。一个月后，该作者承认证明是不完整的， “Collatz猜想是正确的” 的声明被撤回。（Thus,the statement “that the Collatz conjecture is true” has to be withdrawn, at least temporarily.）

来源：平常心

数学家们试验了数百万个数，至今还没发现哪怕一个不收敛到1的例子。然而问题在于，数学家们也没办法证明一定不存在一个特殊的数，在这一操作下最终不在1上收敛。有可能存在一个特别巨大的数，在这一套操作下趋向于无穷，或者趋向于一个除了1以外的循环的数。但没有人能证明这些特例的存在。

2. 移动沙发问题

图片来源：Claudio Rocchini

你要搬新家了，想把你的沙发搬过去。问题是，走廊有个转角，你不得不在角落位置上给沙发转方向。如果这个沙发很小，那没什么问题。如果是个挺大的沙发，估计得卡在角落上。如果你是个数学家，你会问自己：能够在角落上转过来的最大的沙发有多大呢？这个沙发不一定得是矩形，可以说任何形状。

这便是“移动沙发问题”的核心，具体来说就是：二维空间，走廊宽为1，转角90°，求能转过转角的最大二维面积是多少？

能转过转角的最大二维面积被称为“沙发常数”（the sofa constant）——这是真的，我不是骗你读书少。没人知道它到底有多大，但我们知道有一些相当大的沙发可以转得过去，所以我们知道沙发常数一定比它们大；也有一些沙发无论如何都转不过去，因此沙发常数一定比这些转不过去的面积小。迄今位置，我们知道沙发常数落在2.2195到2.8284之间。

3. 完美立方体问题

图片来源：Gfis

还记得勾股定理，A2 + B2 = C2 吗？A、B、C三个字母表示直角三角形的三边长。毕达哥拉斯三角形指的是三边长都是整数的直角三角形，即满足A2 + B2 = C2且A、B、C都是整数。现在我们将这个概念扩展到三维，在三维空间，我们需要四个数A、B、C和G。前三个数是立方体的三维边长，G是立方体的空间对角线长度。

正如有些三角形的三边都是整数一样，存在一些立方体的三边和体对角线（A、B、C和G）都是整数，但对于立方体来说还有三个面对角线（D、E和F），这就带来一个有趣的问题：有没有立方体满足这个7个边长都是整数的条件呢？

上海财经大学 股票操盘手系统化课程（第十六期）

上课地点：上海

培训时间：2017年2月18日—26日 

图片来源：Claudio Rocchini