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直线与圆的位置关系复习课 江苏高邮第一中学 潘梅耘 [教学目标] 知识目标:了解代数法和几何法解决直线与圆位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置关系的判定中的地位，并能应用几何法解决问题。 能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力。 情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性。 [重点难点] 重点: 几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用。 难点: 通过对圆上的点到直线的距离变化的分析诠释数形结合的魅力。 [教学方法] 启发式、自主探究相结合。 [教具资料]三角板、圆规、多媒体课件 问题情境: 在一个特定的时间内,以O为中心的5米范围内(不包括边界)被设为危险区域,某人在O点的南偏西(其中)的方向上,且距O点13米的A地,若他向东北方向直行,会进入危险区域吗?（8分钟） 一分钟后,提问学生:你谈谈思路?(生说时教师写出点坐标,圆方程,直线方程) 追问：你能用数学化的语言刻化一下,如何判定此人是否会进入危险区域? 问题数学化： 直线与圆C: 的位置关系为________。 直线上是否存在点P在圆C: 内? （即OP〈5有解？也就是OPmin〈5?其本质就是OPmin=d） 两种思路都可以解释为 d 与 r 的大小比较问题 两类方法：几何法（利用平几直接求解或用d与r 的关系）、代数法（判别式法、定义法） 引出课题:直线与圆的位置关系(1) 提问学生：回顾直线与圆的位置关系的定义、判定方法 你能选择恰当的方法解决下面问题吗？ 问题一:（8分钟） 已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=1,直线l 过点P(-2,-2)， 求l 与圆C有公共点时斜率k的范围 提问学生：如何求斜率k的范围？ 答：写出圆心和半径、设出直线方程、利用点与直线的距离公式将d用k表示、利用d与r关系列出关于k的不等式、求斜率k的范围 注意事项：“有公共点”的含义,“与斜率k有关的问题求解”,不必考虑斜率不存在之情. 法一：平几性质加三角公式求解。（广义几何法） 法二：利用d与r关系列出关于k的不等式。（狭义几何法） 法三：投影，比较各方法的优劣。（代数法） 解题回顾: 处理解析几何问题时，若能结合平面几何图形的性质，可使解答简捷明快，本题用“圆心到直线距离与半径比较”来探讨直线和圆的位置关系便是典型体现. 方法总结: (提问学生) 一、解题步骤： （1）设直线方程并化为一般式 （2）求圆心到直线距离 （3）比较弦心距与半径的大小 二、解题体会： 1、 几何法比代数法运算量少，简便。 代数法比几何法通用，主要用于直线与圆锥曲线位置关系问题，具有运用的广泛性。 2、在解决有关圆的问题时,一般不用代数法而用几何法 （8分钟） 变式1：过点P(-2,-2)作圆C:(x-1)2+(y+1)2=1的切线,则切线的方程为_____________ 分析：本题是问题一的临界状态，斜率已求，切线易得。和 (提问学生) 变式2：已知x,y满足条件 (x-1)2+(y+1)2=1，则代数式的取值范围___________ 分析：本题是问题一的不同形式的表示，既可以理解为斜率，直接数形结合又可以转化为直线方程的一般式（少一点），从而化归为问题一，当然也可以化为三角函数求解。 (提问学生) 解题回顾:直线与圆的位置关系问题一般有下列几种题型 （1）给定两者方程判定位置关系（如问题情境） （2）给定两者位置关系，求解参数范围或切线方程（如问题一及变式一） （3）给定圆的方程，求圆上点表示的目标函数范围（如问题一及变式二） 方法总结:完整直线与圆位置关系方面的题目常用d与r关系求解 直线与圆局部图形位置关系方面的题目常用数形结合求解 问题二:（5分钟） 求证:直线与圆C: 有两个不同的公共点。 (提问学生) 分析：法一 过定点P(1,-1),且定点P在圆内 法二 C(1,-2), r=2 , 与2比较大小 解题回顾:如果直线过定点,只要先确定定点与圆的位置关系,就能得知直线与圆相应的位置关系.就不必用利用d与r关系来判定了. 方法总结:观察直线是否过定点,优先考虑直线与圆的可能关系,优化解题过程. (提问学生)（5分钟） 变式1：已知,, 则中的元素个数是________1 学生思考时,教师画图,并对学生的回答加以说明 (提问学生) 变式2：已知,, 则中的元素个数是________2 师:你能注意到它们之间的差异吗?
课堂练习：（8分钟） 1.过点作圆的切线,求圆的切线方程. 板演(学生) 3x－4y＋4＝0或x＝4 对策:首先考虑斜率不存在之情或先定解的个数,解不足时补上斜率不存在之情 变式:圆在点处的切线方程是______________ (提问学生) 解题回顾：求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在圆上，可简化过程。若在圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条.
2.(教材P106 e2)如果直线ax＋by＝4与圆有两个不同的交点, 则P(a,b)与圆的位置关系是 ____________(填上以下正确结论的序号) (1)P在圆外 (2)P在圆上 (3)P在圆内 (4)不确定 (提问学生)师同时板演过程 改变2中两个不同的交点的条件,同学们能提出类似的结论吗？(提问学生) 下面这个问题结论是什么? 若点P(a,b) 在圆 x2+y2=1外，则直线ax＋by＝1 与 x2+y2=1的位置关系是_______(相交)
本节课回顾总结: （3分钟） （1）本节课我们复习了哪些内容你能用流程图表示出来吗? (提问学生) （2）直线与圆的位置关系的判定方法有哪些？它们各自有什么优点？(提问学生) 答：两类方法：几何法（广义——利用平几直接求解或狭义——用d与r 的关系）、代数法直接——判别式法或间接的定义法 几何法比代数法简洁，代数法比几何法通用 （3）今天我们所遇到的情形各自用哪种方法更简便？为什么？各自又有什么注意事项？ (提问学生) （4）本节课主要用到了哪些数学思想？用得最多的是哪个？最少的是哪个？ （5）点与圆的位置关系与过此点的直线与圆的位置关系有何联系？ 思考:已知圆M:,直线,下面四个命题 (1)对任意实数与,直线和圆M相切 (2)对任意实数与,直线和圆M有公共点 (3)对任意实数,必存在实数,使得直线和圆M相切 (4) 对任意实数,必存在实数,使得直线和圆M相切 所有真命题的序号是_____________ 板书设计 课题
注：从右向左书写
注：先中间再右边最后左边
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