中考倒计时 | 每日一道中考题，助力中考得高分（50）

数姐有话

今天是周末，数姐带来一道简单的几何问题，大家看完可以稍微休息一会喔~

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

先自己思考

本题考点

三角形的中位线定理，勾股定理．

题目分析

（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，

且MN=1/2 AD，

在Rt△ABC中，

∵M是AC的中点，

∴BM=1/2 AC，

∴BM=MN

（2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）知，BM=1/2 AC=AM=MC，得到∠BMC=60°

由平行线的性质得到∠NMC=∠DAC=30°,

故∠BMN=90°，

得到BNˇ2=BMˇ2+MNˇ2 ,

∵MN=BM=1,

∴BN=√2

题目解析

（1）

在△CAD中，

∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，

且MN=1/2 AD，

在Rt△ABC中，

∵M是AC的中点，

∴BM=1/2 AC，

又∵AC=AD,

∴MN=BM

 （2）

∵∠BAD=60°，且AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）知，BM=1/2 AC=AM=MC，

∴∠BMC=60°

∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°

∵MN∥AD,

∴∠NMC=∠DAC=30°,

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BNˇ2=BMˇ2+MNˇ2 ,

而由（1）知，MN=BM=1/2 AC =1

∴BN=√2

本题点评

本题是一般的几何问题，主要考察三角形的中位线定理和勾股定理，同学们需要掌握牢固基础知识

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