一、迭代是自然数数轴结构的核心
前面的一章内容，简单的谈了有关把零划归自然数，使中国的数学科学研究与西方经典数学理论接轨的规定问题，本人的看法是，中国数学的发展，不在于形式的接轨与不接轨，而是，研究什么，怎么样研究，研究出什么成果的问题。因为发展中国特色科学，发展祖国悠久的历史文化与悠久的科学技术传统体系。是一个基础理论系统的完成过程。而不是通过一个形式规定就可以解决的。
作为基础数理研究，自然数是一个最原始的数学研究起点。而整体研究，则是中国文化的一个重要特色。化整为零；聚零为整，是我们对数字集合与解散形式、态势在广义认识领域进行探索的不同途径。
在整体研究的过程中，我们为了研究其规律性，往往需要忽略了零，只研究整体的结构形式与运动变化形式。这样，我们才能得到整体迭代过程所展示的规律与变化法则。这就是我们通常意义上讲的整体自然数认识观。也称自然数整数认识观。中国的传统文化中的阴阳论、三焦论、八卦论、五行论，都是这个体系产生的认识结果。
整零相对的属性认识观，是整体数字认识观的扩展研究，研究的是整与零的相对、相反、相通、相变的属性变化内容。整数研究立足于研究合，产生的数学思想与哲学相对应的内容是和思维。而零数的研究，则立足于分，产生的数学思想与哲学相对应的内容是分思维。
分为合之反。故合以一为起始，迭代变化趋于无限，形成以一为起始的自然数数列。而分则以一为起始，以倒数的形式迭代变化趋于零，形成以一为起始的自然数倒数数列。
自然数数列，与自然数的倒数数列，是以数字一为轴心，形成的相对、相反属性。即相对谓整零，相反谓倒正。
而相通、相变，则表现在：分中有合，合中有分，则形成了全息的东方分、合数数轴概念基础上。
东方属性数轴中的任意两个数之间，都是相通，相变的。也就是说，数与数之间，都存在一个无限迭代的轮回关系存在。
经典数学对自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。 ⑤不同元素有不同的后继者。⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。
属性数学中的自然数迭代理论，与经典数学中的集理论很相似，但是，它不是指满足于限定条件下的集合；而是迭代产生的连续因果关系结构。即数字1，是迭代的+1过程。
也就是说，具体自然数的数值，可以用+1的迭代次序数来表达。也可以说，迭代因果关系的连续性产生了自然数的集合。
迭代法与后继法对自然数的认知，是建立在两个不同的数学观念上的方法。
后继法，是对自然数的后继存在形式，作出归纳公理式的表达。所以，它需要对定义条件的满足。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
迭代法，是对自然数的序列存在形式，作出迭代因果关系的系统表达。所以，它只需要因果关系的确定，而不需要对定义条件的满足。自然数的加法、乘法运动可以在迭代因果序数中找到规律与法则。我们可以通过迭代法，证明，N 个+1，与M个+1，等于N+M个+1。N个+1乘以M个+1，可以分解成 N个M 个+1相加，或者M个N个+1相加。得到的结果，仍然是M*N个+1。也就是说，N个+1迭代，与 M个+1迭代，所产生的迭代是N*M的+1迭代。所以，在自然数里，任何加迭代，积迭代，得到的结果肯定都是自然数。而减迭代与除迭代，只能在加迭代与积迭代的逆过程中，才能保障结果是自然数。对于没有可逆过程的减迭代则进入负数变化域，在属性数学中称为盈亏域的变化；除迭代，则进入了零迭代的变化范畴。我们称为分数迭代域。
分数迭代域是一个多层面的迭代结构。它的分数变化规律，我们在上一节已经初步介绍了。其复杂性大家也有了初步的了解。并且从中可以看到，分数的迭代形式具有错综的多极无穷性，而分数迭代的层面结构，又是层面中有层面，无穷无尽。其深奥的数学内涵，远远不是有理数与无理数范畴可以表达清楚的数学内容。
在属性数学中，我们把分数的无穷层面结构，称为合数多层面结构的倒映，它把整数合迭代多层面结构的发散形式，倒映成分数迭代多层面的收敛形式。而整数合数的多层面结构形式研究，目前还在经典数学公理化理论中，是一个空白。赵致生虽然用自然方程给出了整数合数迭代的全息表达。但是，没有属性数学基础概念与常识的认识根本就看不懂。而且在分数迭代域的变化规律，在经典数学中又无公理可以参照说明。以至自然方程问世十多年来，无法推广与应用。不能不是现代科学发现成果后，无法被科学工作者认同的最大遗憾。
分数，是合数相对、相反、相通、相变的一个特殊数字形式，它的式、态、形、势研究，是一个相当广阔的应用领域。比率，就是最早应用于算术基础运动法则中的一种基础算法。
二、自然数的数轴结构所展示的万数皆物与万物皆数的数学思想
万物可分可合、万数也可分可合；人类对万物的认识可零可整，人类对数字的认识也可零可整。
万物可移可动，数字可迭可代；万物可变可化，数字可更可替。
万物可聚可散，数字可集可群，万物之动，万数之变，皆在收敛、发散两性之中。
故数理可通物理，物理可与数理同相；物象可与数象同理。
这些内容，虽然讲的是一种辩证思想，但是，它不是纯粹的哲学，而是一种数学思想。当然，现代哲学把任何思想都归纳为其研究的范畴。从这个角度来认识数学思想，也当然可以称为哲学。但是，数学思想与纯粹的哲学思想是不相同的。因为，它可以通过数学的具体理论来予以说明或者实证。我们讲的情景式数学模拟方法，就是具体的实证说明与具体的逻辑推理。但是，我们现在讲的许多情景式模拟问题，大家找不到具体的解决方法。其最根本的原因，就是一个：就是无法摆脱线性经典数学思维的困惑，不能开创出新的思维方法与逻辑辩证方法。
当情景模拟问题，由鸡兔同笼问题进入千卒渡大漠问题时，大家就无法从两个变量的相互结构关系，进入到三个变量的相互结构关系的思维与研究。
线性经典数学思维的量值分析法，把人类的认识，限定在物质存在的客观认识范畴，人类所有的认识，只能以物质客观存在为研究基础。任何运动与变化，都要以物质的存在为研究的基点。也就是说，量变必需限定在质变的研究范畴。所以，研究阴阳的科学概念，寻找质概念上的阴阳构成，成为中医发展的一个方向问题。中医对阴阳的解释，也进入了一个物质化探索的特殊历史时期。诸多新颖的解释真可以说让人眼花缭乱。什么肝阳是XX蛋白酶呀，什么肾阴是XX生命素呀，甚至出现用现代的能量理论来解释阴阳、用现代的基本粒子理论来解释阴阳的、……，千奇百怪，不能归纳为一体之见。
这样的研究，鲜明的偏离了属性科学的内涵与方法轨道。因为属性科学，研究的对象，是变量，是研究量变与质变之间形成的变量关系。也就是说，它的起点，是两个变量之间的关系研究。通俗的来说，就是量变的变量，与质变的变量，即这两个变量的结构关系与变化规律。继而进行更多变量之间的结构关系，与变化规律的更深层次的属性研究。所以，单一的量变或者单一的质变变量，都不是阴阳形成的客观条件。而阴阳的客观存在条件，则必需满足于两个变量变化态势的同时存在。从这个认识层面上来看，属性数学的阴阳科学界定的范畴，应该是量变、质变为研究目标的科学内容更高一个认识层次上的科学体系。如果我们说量变为X变量的方程，质变是Y变量的方程，那么，阴阳，则是XY共同构成的一个变量方程。从数学意义上来讲，就是一元变量研究与二元变量研究的问题。
而以一元变量研究为起点来研究二元变量，与以二元变量为起点来研究更多变量的结构关系。则是经典数学与属性数学的分水岭。用一元变量来研究二元变量，是展示XY的因果关系，而以二元变量为起来点研究二元变量，是研究XY一体结构的运动与变化关系。所以，东方属性数学的数轴是合分概念形成的合数与分数，而经典数学中的数轴概念是整数与小数。西方经典数学的归纳法是后继与递推，东方的数学归纳法是迭代与更替轮回。
两种数学观念，形成了两个不同的数学体系。而中国古老数学体系在中国漫长的文化史中，受到了不同阶段文化的冲击与遗失。不能在诸多科学领域中得到健康的发展与成长。周公著《易》，独霸八百年文化历史，阻隔了史前鼎文化的繁荣；秦始皇焚书坑儒，灭绝春秋百家争鸣文化，都是中华文明史上的浩劫与坎坷。今天，我们又在西方经典文化的权威下，继续走用一个低档次的知识认识，来改造古老的高层次文化认识，不能不成为我们生活中的一件啼笑皆非的事情。
更可悲的是，中国的中医，是建立在这一科学体系上的唯一被保留、流传下来的应用科学技术。却不能认识到它的科学先进性，究竟先进在什么地方，甚至对自己的科学体系基础理论内涵一点都不了解。而把中医基础理论中经过《易经》修改的“心为君主之官，肝为将军”之此等内容视为整体科学的圣旨而一成不变的坚持。对君、臣、佐、使的方剂配伍理念不思变革，停留在封建意识的易经思维逻辑中。中医岂能不走向没落？
所以，我们要重新认识中医，就要先认识什么是属性数学，就要先研究变量与变量构成的整体结构关系。发展属性数学，是发展中医之本。是重塑鼎文化时代的昌盛文化发展。中国自强之路的起点，就是属性数学。人类的数学科学发展也在于属性数学的起步与发展。
三、东西方对自然数的分类法之不同
自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。
经典数学认为：自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3……是整数 而不是自然数。自然数是无限的。
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（即自然数集）
在数物体的时候，数出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然数。自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。 基本单位：1 计数单位：个、十、百、千、万……
总之，经典数学认为：自然数就是指大于等于0的整数。
中国古代数学，认为自然数是不包括零的整数。是通过数数，可以得到的数字，自然数在数量、次序，位制三层含义。分为和数，积数，幂数三种类型。基本单位是一，一是计数单位。位制单位是：个、十、百、千、万……
中国的古代数学，不把0包括在自然数之内，是因为，属性数学的整体分割，一定要在整除的范围内进行。所以，在约数、倍数的计算过程中，都无法在概念中包括0。另外，我们在数数的过程中，通常也无法表达0是几位数。而且，最小的个位数也只能是1。
中国古代数学，把0放在整与零的相对属性构成一体化中进行研究。为的是揭示两个相反属性的事物之间的辩证关系与结构关系。零与整的属性产生，是属性数学整数迭代变化理论的进一步发展，展示的内容是合迭代与分迭代的属性变化相同与不同。因为和、积、幂的迭代过程所产生的数字，都是整数。而减、除、幂根的计算，则不一定全部是整数，也只有在和、积、幂迭代变化的可逆过程中，才能显示出整数解。那么，这种分迭代的解都跑到哪里去了呢？为了寻找这些解的存在，中国古代数学把整数合迭代的研究，扩展到整数分迭代的研究，形成了分数系统。建立了整、零数理结构的属性辩证关系。
由此可以看出，整、零的属性辩证关系产生，来源于整数的合迭代的可逆性研究。非合迭代可逆性产生的分迭代数字变化形式，进入了零数字属性的研究域。
中国把零数字与整数字之间的计算关系，叫作算术。因为零数字的迭代关系要比整数迭代关系复杂很多的一个领域。而整数与零数所展示出来的属性变化关联关系，可分为两类，一类是整数的分迭代，或者分数的继分迭代。通常，属性数学称为计算。而对于零数的分迭代再合迭代，则是一个更为复杂的计算形式，通常在属性数学研究具体属性变化时，并不作具体的计算，而是用一种因果判断的方法来确定，称为算计。所以，算术之术，有分术与合术两类。分术通用于计算，而合术则为算计。分算合计。
任何分数，都可以通过有限次迭代而转换为整数1。任何整数都可以通过有限次迭代转换为整数1。
迭代的方法与方式不同，则是数字属性判别的一种法则。所以，中国的数字属性判别法与西方经典数学中的数字属性判别法也有着本质的不相同。
如经典数学对奇数与偶数的划分标准：按能否被2整除分，并以此可分为奇数和偶数。
奇 数：不能被2整除的数叫奇数。
偶 数：能被2整除的数叫偶数，特别注意：0是偶数。
另外经典数学还按因数数个数分类，把自然数分为素数与合数和1三类。
质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。[质数也称作素数]
合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。
1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。[当然0不能计算因数也一样非质数非合数]
在这里需要说明的是经典数学中的因数概念并不是算术计算过程中大家经常使用的约数。因为约数与因数不是一个相同的概念。
在中国古数学中，偶数与奇数的产生，是通过迭代法产生的。
偶数是通过数字2迭代的无穷性产生的。即：
2+2、2+2+2、2+2+2+2、2+2+2+2、……，
也可以表达为：2*N。N表示迭代的次数。
奇数也是通过数字2迭代后-1产生的，即：
2+2-1、2+2+2-1、2+2+2+2-1、2+2+2+2-1、……，
也可以表达为：2*N-1，或者2N-1。N表示迭代的次数。
同样，对于质数与合数，中国古数学也同样是通过迭代方法的相同与不同来划分他们的属性的。
正是因为东西方数学对数字属性的分类标准不同，所以，得到的数字属性认识结果也不相同。如经典数学公理科学，对素数的认识，就象一个未开垦的处女地一样，凡是涉及到素数的命题，都成了不解之迷，甚至还成为了世纪难题，几百年没有人能破解。
而利用属性数学的迭代归纳法，则都是非常容易就可以得到证明的问题。但是，属性数学的地位，目前还在世界范围内，没有得到公认。其结果，肯定会与应该属性数学数理产生的应用科学中医一样，病是治好了，但是，人家也会说这不是科学。因为当代的科学标准就是经典科学体系，就是只有西方的经典数学公理，公理就是科学，没有具体定义的公理，不是应用公理来解决的具体问题，没有人承认它是科学。在中医发展问题上，中国人自己都如此认识，那么，中国人自己都不认可的文化是科学，那么外国人能会认可才怪了。
综上所述，关于“0”的问题，我就讲到这里了。
“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。
国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。但是，在小学阶段的“整除”部分，仍然不考虑自然数0，因而在约数、倍数等概念中都不包括0。另外，一般情况下我们不说数0是几位数，所以最小的一位数是1。
还是那句老话，不在于规定自然数包括不包括0，关键是如何对自然数与0进行更深入的研究。
