信号处理

作者：桂。

时间：2017-03-03  23:57:29

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/articles/6498913.html 

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前言

Hilbert通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，但求解包括的时候会出现端点效应，本文对于这几点分别做了简单的理论探讨。

本文内容多有借鉴他人，最后一并附上链接。

一、基本理论

　　A-Hilbert变换定义

对于一个实信号x(t)$x(t)$，其希尔伯特变换为：

x~(t)=x(t)?1πt$\tilde{x}(t)=x(t)?\frac{1}{\pi t}$

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：

1πt?j?sign(ω)$\frac{1}{\pi t}?j?sign(\omega )$

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：

1πt?1πt?j?sign(ω)?j?sign(ω)=?1$\frac{1}{\pi t}?\frac{1}{\pi t}?j?sign(\omega )?j?sign(\omega )=?1$

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

对应解析信号为：

z(t)=x(t)+jx~(t)$z(t)=x(t)+j\tilde{x}(t)$

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

　　B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：

x(t)=a(t)cos[2πfst+φ(t)]$x(t)=a(t)\cos ?[2\pi f_{s}t+\phi (t)]$

其中fs$f_s$是载波频率，a(t)$a(t)$是x(t)$x(t)$的包络，φ(t)$\phi (t)$是x(t)$x(t)$的相位调制信号。由于x(t)$x(t)$是窄带信号，因此a(t)$a(t)$也是窄带信号，可设为：

a(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]$a(t)=\left[1+\sum _{m=1}^M{X}_m\cos ?(2\pi f_{m}t+{\gamma }_m)\right]$

式中，fm$f_m$为调幅信号a(t)$a(t)$的频率分量，γm${\gamma }_m$为fm$f_m$的各初相角。

对x(t)$x(t)$进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：

z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]$z(t)=e^{j\left[2\pi f_s+\phi \left(t\right)\right]}\left[1+\sum _{m=1}^M{X}_m\cos ?(2\pi f_{m}t+{\gamma }_m)\right]$

设

A(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]$A(t)=\left[1+\sum _{m=1}^M{X}_m\cos ?(2\pi f_{m}t+{\gamma }_m)\right]$

Φ(t)=2πfst+φ(t)$\mathrm{\Phi }\left(t\right)=2\pi f_{s}t+\phi \left(t\right)$

则解析信号可以重新表达为：

z(t)=A(t)ejΦ(t)$z(t)=A(t)e^{j\mathrm{\Phi }\left(t\right)}$

对比x(t)$x(t)$表达式，容易发现：

a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)??????????√$a(t)=A(t)=\sqrt{x^2(t)+{\tilde{x}}^2(t)}$

φ(t)=Φ(t)?2πfst=arctanx(t)x~(t)?2πfst$\phi (t)=\mathrm{\Phi }(t)?2\pi f_{s}t=\arctan ?\frac{x(t)}{\tilde{x}(t)}?2\pi f_{s}t$

由此可以得出：对于窄带信号x(t)$x(t)$，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调a(t)$a(t)$和相位解调φ(t)$\phi (t)$，并可以利用相位解调求解频率解调f(t)$f(t)$。因为：

f(t)=12πdφ(t)dt=12πdΦ(t)dt?fs$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\frac{d\phi (t)}{dt}=\frac{1}{2\pi }\frac{d\mathrm{\Phi }(t)}{dt}?f_s$

　　C-相关MATLAB指令

• hilbert

功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).

调用格式：z = hilbert(x)

• instfreq

功能：计算复信号的瞬时频率。

调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)

示例：

1 2	z = hilbert(x); f = instfreq(z);

 

二、应用实例

 例1：给定一正弦信号，画出其Hilbert信号，直接给代码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

clc clear all close all ts = 0.001; fs = 1/ts; N = 200; f = 50; k = 0:N-1; t = k*ts; % 信号变换 % 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号 y = sin(2*pi*f*t); yh = hilbert(y);    % matlab函数得到信号是合成的复信号 yi = imag(yh);      % 虚部为书上定义的Hilbert变换 figure subplot(211) plot(t, y) title('原始sin信号') subplot(212) plot(t, yi) title('Hilbert变换信号') ylim([-1,1])

　　对应效果图：

例2：已知信号x(t)=(1+0.5cos(2π5t))cos(2π50t+0.5sin(2π10t))$x(t)=(1+0.5\cos ?(2\pi 5t))\cos ?(2\pi 50t+0.5\sin ?(2\pi 10t))$，求解该信号的包络和瞬时频率。

分析：根据解包络原理知：

信号包络：(1+0.5cos(2π5t))$(1+0.5\cos ?(2\pi 5t))$

瞬时频率：2π50t+0.5sin(2π10t)2π$\frac{2\pi 50t+0.5\sin ?(2\pi 10t)}{2\pi }$

那么问题来了，实际情况是：我们只知道x(t)$x(t)$的结果，而不知道其具体表达形式，这个时候，上文的推导就起了作用：可以借助信号的Hilbert变换，从而求解信号的包络和瞬时频率。

对应代码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

clear all; clc; close all; fs=400;                                 % 采样频率 N=400;                                  % 数据长度 n=0:1:N-1; dt=1/fs; t=n*dt;                                 % 时间序列 A=0.5;                                  % 相位调制幅值 x=(1+0.5*cos(2*pi*5*t)).*cos(2*pi*50*t+A*sin(2*pi*10*t));  % 信号序列 z=hilbert(x');                          % 希尔伯特变换 a=abs(z);                               % 包络线 fnor=instfreq(z);                       % 瞬时频率 fnor=[fnor(1); fnor; fnor(end)];        % 瞬时频率补齐 % 作图 pos = get(gcf,'Position'); set(gcf,'Position',[pos(1), pos(2)-100,pos(3),pos(4)]); subplot 211; plot(t,x,'k'); hold on; plot(t,a,'r--','linewidth',2); title('包络线'); ylabel('幅值'); xlabel(['时间/s' 10 '(a)']); ylim([-2,2]); subplot 212; plot(t,fnor*fs,'k'); ylim([43 57]); title('瞬时频率'); ylabel('频率/Hz');  xlabel(['时间/s' 10 '(b)']);

　　其中instfreq为时频工具包的代码，可能有的朋友没有该代码，这里给出其程序：

+ View Code

　　对应的结果图为：

可以看到信号的包络、瞬时频率，均已完成求解。

 例3：例2中信号包络为规则的正弦函数，此处给定任意形式的包络（以指数形式为例），并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率，并给出对应的Hilbert谱。

程序：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

clc clear all close all ts = 0.001; fs = 1/ts; N = 200; k = 0:N-1; t = k*ts; % 原始信号 f1 = 10; f2 = 70; % a = cos(2*pi*f1*t);       % 包络1 a = 2 + exp(0.2*f1*t);     % 包络2 % a = 1./(1+t.^2*50);       % 包络3 m = sin(2*pi*f2*t);         % 调制信号 y = a.*m;  % 信号调制 figure subplot(241) plot(t, a) title('包络') subplot(242) plot(t, m) title('调制信号') subplot(243) plot(t, y) title('调制结果') % 包络分析 % 结论：Hilbert变换可以有效提取包络、高频调制信号的频率等 yh = hilbert(y); aabs = abs(yh);                 % 包络的绝对值 aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位 af = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算 % NFFT = 2^nextpow2(N); NFFT = 2^nextpow2(1024*4);      % 改善栅栏效应 f = fs*linspace(0,1,NFFT); YH = fft(yh, NFFT)/N;           % Hilbert变换复信号的频谱 A = fft(aabs, NFFT)/N;          % 包络的频谱 subplot(245) plot(t, aabs,'r', t, a) title('包络的绝对值') legend('包络分析结果', '真实包络') subplot(246) plot(t, aangle) title('调制信号的相位') subplot(247) plot(t(1:end-1), af*fs) title('调制信号的瞬时频率') subplot(244) plot(f,abs(YH)) title('原始信号的Hilbert谱') xlabel('频率f (Hz)') ylabel('|YH(f)|') subplot(248) plot(f,abs(A)) title('包络的频谱') xlabel('频率f (Hz)') ylabel('|A(f)|')

　　对应结果图：

从结果可以观察，出了边界误差较大，结果值符合预期。对于边界效应的分析，见扩展阅读部分。注意：此处瞬时频率求解，没有用instfreq函数，扩展阅读部分对该函数作进一步讨论。

 

三、扩展阅读

　　A-瞬时频率求解方法对比

对于离散数据，通常都是用差分代替微分，因此瞬时频率也可根据概念直接求解。此处对比分析两种求解瞬时频率的方法，给出代码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

clc clear all close all ts = 0.001; fs = 1/ts; N = 200; k = 0:N-1; t = k*ts; % 原始信号 f1 = 10; f2 = 70; % a = cos(2*pi*f1*t);       % 包络1 a = 2 + exp(0.2*f1*t);     % 包络2 % a = 1./(1+t.^2*50);       % 包络3 m = sin(2*pi*f2*t);         % 调制信号 y = a.*m;  % 信号调制 figure yh = hilbert(y); aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位 af1 = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算 af1 = [af1(1),af1]; subplot 211 plot(t, af1*fs);hold on; plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2); title('直接求解调制信号的瞬时频率'); legend('频率估值','真实值','location','best'); subplot 212 af2 = instfreq(yh.').'; af2 = [af2(1),af2,af2(end)]; plot(t, af2*fs);hold on; plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2); title('instfreq求解调制信号的瞬时频率'); legend('频率估值','真实值','location','best');

　　结果图：

可以看出，两种方式结果近似，但instfreq的结果更为平滑一些。

　　B-端点效应分析

对于任意包络，求解信号的包络以及瞬时频率，容易出现端点误差较大的情况，该现象主要基于信号中的Gibbs现象，限于篇幅，拟为此单独写一篇文章，具体请参考：Hilbert端点效应分析。

　　C-VMD、EMD

 Hilbert经典应用总绕不开HHT（Hilbert Huang），HHT基于EMD，近年来又出现了VMD分解，拟为此同样写一篇文章，略说一二心得，具体参考：EMD、VMD的一点小思考。

 　　D-解包络方法

需要认识到，Hilbert不是解包络的唯一途径，低通滤波（LPF）等方式一样可以达到该效果，只不过截止频率需要调参。

给出一个Hilbert、低通滤波解包络的代码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

function y=envelope(signal,Fs) %Example: %   load('s4.mat'); %   signal=s4; %   Fs=12000; %   envelope(signal,Fs); clc; close all; %Normal FFT y=signal; figure(); N=2*2048;T=N/Fs; sig_f=abs(fft(y(1:N)',N)); sig_n=sig_f/(norm(sig_f)); freq_s=(0:N-1)/T; subplot 311 plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('FFT of Original Signal'); %Envelope Detection based on Low pass filter and then FFT [a,b]=butter(2,0.1);%butterworth Filter of 2 poles and Wn=0.1 %sig_abs=abs(signal); % Can be used instead of squaring, then filtering and %then taking square root sig_sq=2*signal.*signal;% squaring for rectifing %gain of 2 for maintianing the same energy in the output y_sq = filter(a,b,sig_sq); %applying LPF y=sqrt(y_sq);%taking Square root %advantages of taking square and then Square root rather than abs, brings %out some hidden information more efficiently N=2*2048;T=N/Fs; sig_f=abs(fft(y(1:N)',N)); sig_n=sig_f/(norm(sig_f)); freq_s=(0:N-1)/T; subplot 312 plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection: LPF Method'); %Envelope Detection based on Hilbert Transform and then FFT analy=hilbert(signal); y=abs(analy); N=2*2048;T=N/Fs; sig_f=abs(fft(y(1:N)',N)); sig_n=sig_f/(norm(sig_f)); freq_s=(0:N-1)/T; subplot 313 plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection : Hilbert Transform')

　　结果图：

效果是不是也不错？

 

参考：

了凡春秋：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6163bdeb0102e1wv.html#cmt_3294265

宋知用：《MATLAB在语音信号分析和合成中的应用》