巧妙构造：利用函数思想解与不等式有关的简单问题

（许兴华数学）

【本讲所需要的知识点小结】函数的单调性：

1. 增函数：如果对于函数f(x)在定义域D内的任意两点m<><>函数在Ｄ上是增函数；

2. 减函数：如果对于函数f(x)在定义域D内的任意两点mf(n),则称函数在Ｄ上是减函数。

3. 函数f(x)在定义域D上是增函数或者减函数的性质，称为“函数的单调性”。

4. 导数方法：若可导函数f(x)在定义域D内的导数f’(x)>0，则函数在Ｄ上是增函数；若可导函数f(x)在定义域D内的导数f’(x)<>则函数在Ｄ上是减函数。
   

5.【巧妙构造的思路与方法】对有关数列的不等式问题及涉及以正整数n为变量的数学问题，我们常常可视为函数f(n),然后同f(n)一样判定其单调性，一般要利用“作差比较法”或者“作商比较法”判定其单调性。

【例1】求证：对于一切大于1的自然数n，恒有：

【分析】对于这类问题，我们可以看成自变量是n的函数，而且原不等式等价于

于是，只要我们设不等式的左边为f(n),则可利用函数f(n)的单调性来给出证明。