整除与余数

整除数的特征

被2整除的数：偶数

被3整除的数：各位数之和是3的倍数

被4整除的数：末两位能被4整除的数

被5整除的数：个位数是0或5

被6整除的数：所有位数之和是3的倍数且个位是偶数

被7整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、2倍、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止

被8整除的数：末三位数是8的倍数

被9整除的数：各位数之和是9的倍数

被11整除的数：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包括0)，那么，原来这个数就一定能被11整除。

被13整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、4倍、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止

题1：111a是四位数，若111a  -- 3是7的倍数。求自然数a。

解析：

解题方法其实很多。例如可按被7整除数的特征来考虑。这里介绍一种。

因为1106÷7=158，111a  -- 3是7的倍数，则111a  -- 3--1106=a+1是7的倍数，因为0≦a≦9，则1≦a+1≦10，而1-10中，只有7能被7整除，则只有唯一值a+1=7，即a=6。

题2：有三个连续的自然数，它们的和是三位数，并且是31的倍数，求着三个数的和的最小值。

解析：

此题从和的特征考虑

首先三个连续自然数的和是中间数的3倍，而已知条件：和是31的倍数，则这个和是3×31=93的倍数。因为和是三位数，则和最小是93×2=186。即为所求数。

此时该三个连续自然数为：61，62，63.【62是31的倍数】符合题意。

题3：若11ab是四位数，并且11ab--3是7的倍数，那么a+b有多少个不同的值？

解析：

解题方法有很多。与题1一样，介绍一种。

因为1099÷7=157，则11ab-3=1099+1+10a+b-3=1099+7a+（3a+b-2）是7的倍数。即3a+b-2是7的倍数。因为0≦a≦9，0≦b≦9，则-2≦3a+b-2≦34，而在-2至34之间，只有0，7，14，21，28是7的倍数，则可按以下情况分类考虑：

(1)当3a+b-2=0时，即3a+b=2。此时，

1.a=0，b=2；那么a+b=2；

(2)当3a+b-2=7时，即3a+b=9。此时

2.当a=0时，b=9；此时a+b=9；

3.当a=1时，b=6；此时a+b=7；

4.当a=2时，b=3；此时a+b=5；

5.当a=3时，b=0。此时a+b=3。

(3)当3a+b-2=14时，即3a+b=16。此时

6.当a=3时，b=7；此时a+b=10；

7.当a=4时，b=4；此时a+b=8；

8.当a=5时，b=1；此时a+b=6 。

(4)当3a+b-2=21时，即3a+b=23。此时

9.当a=5时，b=8；此时a+b=13；

10.当a=6时，b=5；此时a+b=11；

11.当a=7时，b=2；此时a+b=9 。

(5)当3a+b-2=28时，即3a+b=30。此时

12.当a=7时，b=9；此时a+b=16；

13.当a=8时，b=6；此时a+b=14；

14.当a=9时，b=3；此时a+b=12。

以上14种情况中，第2种与第11种的和均为9，故可作为一种情况考虑。

则a+b的值共计13种。

题4：100名同学面向老师站成一行，大家先从左至右按1，2，3，4，...，...依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是5的倍数的同学向后转，问：背向老师的有多少人？

解析：

此题思考时，除了4的倍数，5的倍数，还要考虑4和5的公倍数，即20的倍数。

100÷4=25，100÷5=20，100÷20=5

则25+20-5=40

即背向老师的有40人。

题5：一个自然数，它除了1以外的两个不同约数的和最大是60，求这个自然数。

解析：

思路分析：一个数除1以外两个不同约数和最大值是60，即两个较大约数值为60，一个数的最大约数是它本身，可假设另一个较大的约数为x，令这个数自身是x的a倍（a>1），则有关系成立如下：

ax+x=60

即（a+1）x=60，并且满足3≦a+1 ≦ x <>60

此时可将60分解成如下形式：

60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10

（1）当x=20时，a+1=3，即a=2，则最大约数即自身为2×20=40，符合题意；

（2）当x=15时，a+1=4，即a=3，则最大约数即自身为3×15=45，符合题意；

（3）当x=12时，a+1=5，即a=4，则最大约数即自身为4×12=48，但12不是48的较大约数（24是48的较大约数），不符合题意，舍去；

（4）当x=10时，a+1=6，即a=5，则最大约数即自身为5×10=50，但10不是50的较大约数（25是50的较大约数），不符合题意，舍去。

此时以上情况已经全部分析完毕，符合题意的只有（1）和（2），则这个自然数可能为40或者45。

题6：三位数中，被6除，余数是5的有多少个？

解析：

此题解题方式有好几种。这里介绍一种。

最大的三位数是999，最小的三位数是100，那么从100到999共同三位数的个数是：999-100+1=900，而每6个连续自然数中，其中必有1个是被6除余5的（当然余4，余3等有且仅有1个），那么就变成900个数中有几组这样的6个连续自然数（要6个6个数，每个数不能重复用）？

即：900÷6=150，即这样的三位数共有150个。

题7：20122013除以8和9的余数分别是______、_________。

解析：

此题考察整除数的特性，整千数能被8整除，所有数字之和能被9整除的数一定也能被9整除。所以，

20122000能被8整除，剩下13，显然被8除余5，20122011能被9整除，那么20122013被9除余2。当然实战时若不是很清楚，硬算也是一种方法，只是时间要长些。

答案分别是5和2。

题8：一个两位数除以5余3，除以9余3，这个两位数最小是______。

解析：

此题考察简单的同余问题，取最小公倍数【5,9】=45,45+3=48即可。继续追问：符合条件的最小的数与最大的两位数是多少？那么，最小数是3，最大的两位数48+【5,9】×1=93。

题9：一个带余数的除法算式中，被除数是129，余数是24，除数可能是______。

解析：

此题需要用到逆推计算，再进行分解因式。

129-24=105

105=3×5×7，根据因式分解可知，105的约数中比24大的有：5×7=35，3×5×7=105

所以除数可能是35或105。

题10：被3除余2，被7除余4，被11除余1的最小自然数是______。

解析：

此题考察余数问题，有两种方法可用，参考“ 小学奥数奥数专题 解析 ”，结果是221。

题11：三个连续的自然数介于100-200之间。其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除。试写出所有这样的三个自然数。

解析：

此题的关键是找出整除的关联性。

可任意指定这三个数中的其中一个数，根据它们分别被3、5、7整除的情况来判断。

例如，可假设三个连续自然数中最小的为a，那么a能被3整除，被5除余4，被7除余5.那么先求出满足条件的最小的数。根据余数问题可求出最小的数为54.那么满足条件的最小三位数为54+【3,5,7】=159，这样的话，满足条件的三个自然数是159,160,161.

题12：四年级有学生若干名，若7人一行最后余3人；若11人一行最后余5人。四年级最少有学生多少人？

解析：

按照余数问题可知为49+66=115，则满足条件最小的数为115-【7，11】=38,（考虑到偏远山区一个年级可能就一个班的人数，所以这个数量也符合），115+【7,11】=192,115+2*【7,11】=269，。。。。。。，最少的数量为38.

题13：若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d-r的最大值是______。

解析：

此题考察同余概念

由题可知：2017-r，1029-r，725-r均能被d整除，则

（2017-r）-（1029-r），（2017-r）-（725-r），（1029-r）-（725-r)这3个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，不难得出，3个数的最大公约数为76，即d的可能值为76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0）；

当d=76时，此时725÷76=9...41，即r=41，即此时d-r=76-41=35；

当d=38时，此时725÷38=19...3，即r=3，即此时d-r=38-3=35；

当d取19，4，2，1时，此时r<>

则d-r的最大值为35.