空间几何体的表面积和体积

高考数学丨MOOK

2016 第26期

 熊如佐

一、公式大放送

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多面体的面积和体积公式

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长.

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旋转体的面积和体积公式

表中l，h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥的底面半径，r_1，r₂分别表示圆台的上、下底面半径，R表示球的半径.

3

圆柱、圆锥、圆台侧面积之间的关系

4

柱、锥、台体积之间的关系

二、技巧早知道

立体几何中的“换拆拼补”是求体积、表面积、距离的基本方法.所谓“换”是变换观察角度，使几何体变换前后等体积．变换的标准是看相应的底面和高是否容易求解．所谓“拆”是将一个几何体拆成几个几何体,如非规则形体的体积计算问题,有时为了计算方便,把某个几何体拆出,另画图形或另行计算,这都是“拆”法的体现;所谓“拼”是将不易求体积的几何体转化为易求的规则几何体求解，是一种常用的技巧.所谓“补”就是将不太容易求体积的几何体“补”成熟悉的形体，使形体结构更完整、更充实,使求体积的方法思路大增.

三、见招拆招

1

侧面积与表面积问题

例1.（1）已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的侧面积和表面积．

解： 正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.

∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴PE＝＝4(cm)．

因此S_侧＝Ch′＝×4×4×4＝32(cm²)，

S_表＝S_侧＋S_底＝32＋16＝48(cm²)．

（2）圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？

解：如图所示，设圆台的上底面周长为c.因为侧面展开图的扇环的圆心角是180°，

故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20.

同理可得SB＝40，

所以AB＝SB－SA＝20.

所以S_表＝S_侧＋S_上＋S_下

＝π(r₁＋r₂)·AB＋πr＋πr

＝π(10＋20)×20＋π×10²＋π×20²

＝1100π(cm²)．

故圆台的表面积为1 100πcm².

总结

（1）求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤：

①得到空间几何体的展开图;

②依次求出各个平面图形的面积;

③将各平面图形的面积相加．

（2）求棱柱、棱锥、棱台表面积的基本步骤：

①清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积;

②求出其底面的面积;

③求和得到表面积．

变式训练1  已知各面均为等边三角形的四面体SABC(即正四面体SABC)，棱长为a，则其表面积为________．

2

体积问题

(1)公式法

例2.如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．试求这个几何体的表面积和体积．

分析：三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，由三视图想象出对应的空间几何体，就不难求出表面积．

解：由三视图可知，这个几何体是一个“躺着”的直三棱柱，其侧棱长是3，底面是一个底边长是2，高是1的等腰三角形，

点评：熟悉常见几何体的直观图和三视图的互化，根据三视图的特征合理想象出对应的空间几何体．再根据公式计算即可．

变式训练2 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是(　　)

A.cm³     B. cm³

C.cm³     D. cm³

答案：B

(2)等积法

例3.如图，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为a的等边三角形，四边形ABCD是矩形，F是AB的中点，EC与平面ABCD成30°角．

(1)求三棱锥F－CDE的体积；

(2)求点D到平面EFC的距离．

点评: 三棱锥的“等体积性”，即计算体积时可以用任意一个面作三棱锥的底面．①求体积时，可选择高和底面积容易计算的来算；②利用“等体积性”可求点到平面的距离．利用等体积变换法求点到平面的距离，是求点到平面距离的又一重要方法，尤其是点到平面的垂线不好作时，往往使用此法

变式训练3 如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E，F分别是棱AA₁和CC₁的中点，求四棱锥A₁-EBFD₁的体积．

(3)割补法

例4.边长为12cm的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A，B两片，如图1所示.把这6片粘在一个正六边形的外面，如图2所示，然后折成多面体，如图3，则其体积为__________.

解析:如图3，将立体图形从局部考虑，

点评:割补法是求体积、表面积、距离的基本方法，常常将一个不太容易求体积、表面积、距离的几何体转化为易求的棱柱和棱锥来求解，是一种常用的技巧.

变式训练4 如图，在多面体ABCDE中，

(4)分割法

例5.如图，已知三棱锥P-ABC中，棱AC长为6，其余各棱长均为5，求三棱锥的体积.

PO为高）直接计算，将会遇到计算繁杂的问题，注意题中条件只有棱AC长为6，其他棱长是5，可以过的AC中点作平面PBD把原三棱锥分成两个体积相等的小三棱锥，使问题转化为求小三棱锥的体积.

解:

取AC的中点D，则直线AC与平面PBO垂直，于是有

点评:通过分割几何体将不易求长度的几何体转化为易求长度的几何体的方法在求几何体的面积、体积等计算题中常用到.

变式训练5 在三棱台ABC­-A₁B₁C₁中，AB∶A₁B₁＝1∶2，则三棱锥A₁­-ABC，B­-A₁B₁C，C­-A₁B₁C₁的体积之比为________．

解析：如图，三棱锥B-A₁B₁C可看作棱台减去两个三棱锥A₁­-ABC和C­-A₁B₁C₁后剩余的几何体，分别求几何体的体积，然后相比即可．

答案:1∶2∶4

   下期预告

  《转换思想巧解空间位置关系和空间距离》

---胡磊