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苏联数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学就是数学语言的教学。”法国数学家庞加莱说：“没有数学这门语言，我们便无法发现世界内部的和谐和事物间的密切联系。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》中特别强调：要重视学生运用数学语言解决实际问题的能力以及正确、熟练使用数学化的语言进行表达交流的能力。可见，发展数学语言十分重要。在数学教学中，关注学生数学语言的表达，是提升学生的数学核心素养的基石。那么，数学语言的内涵是什么？数学语言发展的必要性有哪些？在教学中如何引导学生运用数学语言进行表达？本文拟就以上几个方面做一些思考和探寻。 一、数学语言的内涵 数学是研究数量关系和空间形式的科学。广义地说，一切用以反映数量关系和空间形式的语言都是数学语言。按照一定的规则表达数学意义，交流数学思想的文字、符号、图表就是数学语言。因此，一般意义上，把数学语言分为文字语言、符号语言和图表语言。 文字语言主要是用自然语言描述数学中的概念、定义、规则等，是自然语言经过加工改造而成的。它的特点是通俗易懂，便于理解，但有时候文字偏多，表达起来不够简洁、精准。 符号语言是数学语言的标志，它用抽象的、概括的语言反映了数学中各种数、数量之间的关系。数学中的许多公式、定律都是用符号语言进行表达的。如，长方形的面积公式一般写成：S=a×b，加法交换律用符号语言表达为：a＋b=b＋a。符号语言体现出高度的抽象性、简约性，便于数学的推理及模型建构。 图表语言就是数学中表达数量关系和空间形式的各种图形、图像和表格。图表语言直观形象，能够使数量及数量关系清晰明了，能够直接反映某些对象的变化、关系、结构等。 二、发展数学语言的必要性 数学语言是数学思维的外显形式和载体，它简化了数学思维的过程。正确使用数学语言，有助于数学问题的顺利解决、数学概念的深刻理解和数学思想的有机渗透。 （一）有助于数学问题的顺利解决 在解决问题的过程中，学生往往会依托题中给出的文字语言，但有时凭借文字语言比较难表达数量关系，这时可以引导他们借助数学语言的多种形态，如符号语言、图表语言。 比如，教学“分数的初步认识”时，有这样一道拓展题： 有三个小朋友参加了一次数学竞赛，欢欢做对了所有题目的14，乐乐做对了所有题目的16，天天做对了所有题目的13。谁做对的题目最多？谁做对的最少？说一说你是怎么思考的。 由于题中没有告诉这次的数学竞赛一共有多少题，因此，学生在解决问题时就会运用不同的数学语言（见图1~图3）。 图1所示的解法借助图形解决问题，体现了抽象思维；图2所示的解法借助图形的个数解决问题，体现了形象思维；图3所示的解法采取的是假设思路，用除法算式很好地解决了问题。图2、图3所示的解答方法，也是数形结合思想的很好体现。教学中，教师应注重观察、分析、比较学生不同数学语言的使用，以促进学生数学思维的提升。 图1 图2
图3 （二）有助于数学概念的深刻理解 数学领域，有些概念比较浅显，有些概念却晦涩难懂。借助不同的数学语言进行表达，可以很好地帮助学生理解一些抽象概念。 比如，教学“长方形的周长”，学生容易理解“长方形的周长=长＋宽＋长＋宽”，却难以理解“长方形周长=（长 宽）×2”。为什么要用长加宽的和乘以2呢？借助图形，学生就容易理解。如图4，把一个规则的长方形进行分解，四条边分成两组，每一组包含一个长和宽。借助图表语言的表达，学生很快明白长方形的周长里包含两组“长 宽”，所以，长方形的周长=（长 宽）×2。 图4 （三）有助于数学思想的有机渗透 数学知识与数学思想是紧密联系的，数学知识的发生、发展过程，也是数学思想的发生和凸显过程。数学思想的形成需要在教学中不断地提炼、理解、运用。在教学过程中，借助数学语言的表达能更好地实现数学思想的有机渗透。 比如，“两位数加一位数”的口算练习，为了让学生厘清什么时候进位，什么时候不进位，教师往往会用文字语言描述：当两个加数的个位相加时进位，这就是进位加法；当两个加数的个位相加时不进位，这就是不进位加法。这样的描述比较繁琐，且要求学生同样用口头语言表达还是有一定难度的。教师不妨借助图表语言（见图5）进行表达，清晰明了。在这一过程中，分类思想、模型思想都得以渗透。 图5 三、发展数学语言的具体策略 （一）在“了解”中孕育 数学语言有着丰富的内涵及特定的意义，特别是符号语言，从功能上看有关系符号（如=、>、<、≠、≈），运算符号（如－、＋、×、÷），当然还有性质符号、标点符号、缩略符号，等等。符号的意义是约定俗成的，这些符号的历史在教学中也应让学生去了解。 比如，教学“乘法的初步认识”，可以让学生了解乘号是怎么产生的，为什么能流传下来。乘号非常像加号，是因为它就是加号旋转45°得到的，这表明乘法源于加法，但是又不同于加法。通过了解，学生明白，流传至今的符号一定是内涵为大家所接受的，从而进一步理解符号语言的含义。 另外，还要让学生逐步了解数学表达的多样化，同一数学对象可以采用多种数学语言予以表达。在充分了解数学语言的基础上，学生可用自己的方式去表达数量、数量关系、运算定律等。不同的学生的表达可能会不同，教师要使学生明白不同方式表达的内涵是什么、它们之间有什么异同点并寻找最佳的表达方式。 （二）在“表征”中丰富 问题表征是人们解决问题时所使用的一种认知结构，具有多种形式。问题表征的质量影响着问题的解决，甚至是能否顺利解决问题的关键。在日常教学中，教师应该有意识地创设条件，引导学生用不同的数学语言表征条件和问题，从而获得问题解决的有效路径。 比如，教学图6所示的例题之前，教师调整了原有的教学结构，借助“课前小研究”的形式，要求学生用不同的方式表达所获得的信息，以及题中裤子和上衣的关系。教师在上课之前首先对学生的表征方式进行了梳理，图7所示的六位学生的表达方式基本代表了全班学生的想法。教师再引导学生充分讨论这六种表达方式，让学生感受到文字语言、图表语言的表达都具有一定的局限性，图6中的数量关系用线段图进行表征最利于问 图6
图7 题的解决。如此教学，使得学生既明白了各种表征方法的内涵，又体会到各种方法的优越性。 （三）在“互译”中发展 不同数学语言类型之间的互译，不仅有利于数学知识的理解和记忆，还可使学生熟悉数学语言本身，能合理、简洁、准确地用文字语言、符号语言、图表语言表达数学思维，提高数学素养。因此，在教学中要通过数学语言的互译训练，锻炼学生思维的灵活性。 比如，解决以下问题： 六年级学生进行足球比赛，共4个班参加，分别是：红队、黄队、绿队和蓝队，如果每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？ 教师要求学生用自己的方式列举出结果（见图8~图11）。
图8
图9
图10
图11 学生用不同的数学语言列举的过程，也是不同数学语言的互译过程。这样的互译，有利于学生对数学语言的理解，进而充分感悟数学语言的功能，发展数学语言和数学思维。 （作者单位：江苏省南京市玄武区教师发展中心，210016） 《教育研究与评论》（小学教育教学）2017年第6期 |
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