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很多人都觉得数学学习非常难，要想提高数学成绩，不仅要去掌握众多知识点，掌握还不一定能正确解答出相应的数学问题，更重要学会运用相应的知识点、方法技巧等等去解决实际问题。 特别是很多学生进入高中之后，没有及时转变学习方法，主动去适应高中数学的变化，造成数学成绩一度出现滑落，甚至整个高中的数学学习处于低谷期。高中数学相比初中数学、小学数学，无论是知识的深度和广度不断加深，单单知识点的学习，就是小学和初中无法比拟的，高中数学更讲究技巧性，讲究方法，这就是很多人无法适应高中数学学习，不能取得优异成绩的原因。 大家一定要记住一点，数学学习是学会如何解决问题，如何把复杂问题简单化，如何让问题解决变得更加简单，变得更加容易。只有学会如何“分解”数学问题，你的数学能力才会得到提高；只有学会如何“分解”数学问题，你才能找到提高数学能力的途径。 如学好导数对于学好整个高中数学显得尤为重要，通过导数的学习，可以更好帮助我们研究函数的性质，更好理解的去理解函数的性质等等。在高考数学中，如何在函数题目、几何题目、不等式题目中运用导数成为高考数学重要的热门考查对象。 因此，今天我们一起通过对高考导数常考题型进行分析，总结归纳导数在高中数学解题中的一些常用解题方法。 首先要掌握好求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 1、确定函数f(x)的定义域； 2、求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根； 3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； 4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。 那么，什么是函数单调区间？ 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. 1、当f′(x)≥0⇔f(x)时，在(a，b)上为增函数． 2、当f′(x)≤0⇔f(x)时，在(a，b)上为减函数． f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。 典型例题分析1： 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)当a＝2时， f(x)＝(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， ∵ex＞0， ∴－x2＋2＞0， (2)若函数f(x)在R上单调递减， 则f′(x)≤0对x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立． ∵ex＞0， ∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0， 即a2＋4≤0，这是不可能的． 故不存在a使函数f(x)在R上单调递减． 导数在高中数学中占有重要的地位,是研究函数的单调性、变化率以及最值等问题最常用和最有效的工具,也是进一步学习高等数学的基础。 要想学好导数相关知识内容，那么你首先需要掌握好函数的极值、函数的最值等基本概念。如函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值。 函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值。 其中极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。 在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点。 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较。 典型例题分析2： 设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－1/2对称，且f′(1)＝0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值． 解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1， 故f′(x)＝6x2＋2ax＋b， 从而f′(x)＝6(x+a/6)2＋b－a2/6， 即y＝f′(x)关于直线x＝－a/6对称． 从而由题设条件知－a/6＝－1/2，即a＝3. 又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0， 得b＝－12. (2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， 所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)， 令f′(x)＝0， 即6(x－1)(x＋2)＝0， 解得x＝－2或x＝1， 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， 即f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 当x∈(－2,1)时，f′(x)<0， 即f(x)在(－2,1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 即f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21， 在x＝1处取得极小值f(1)＝－6. 通过对历年高考数学分析，还是对平时高中数学学习分析发现，很多高中学生在导数学习中主要存在着这三方面学习问题： 1、导数的几何意义理解不完整,极值、极值点、取得极值时的点概念混淆,取得极值的条件不清楚； 2、公式理解不深刻,运算性质记忆不牢,导函数及其图像的性质掌握不透彻； 3、导数的最基本应用能力不足,导数的知识迁移能力差,与导数的应用相关的解题思想方法不熟悉,对导数的应用存在恐惧心理。 因此，大家一定要记住求函数极值的步骤： 1、确定函数的定义域； 2、求方程f′(x)＝0的根； 3、用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； 4、由f′(x)＝0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况。 记住求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： 1、求函数在(a，b)内的极值； 2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； 3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 典型例题分析3： 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16. (1)求a，b的值； (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． 解：(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b， 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16， (2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c； f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)． 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， 故f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 当x∈(－2,2)时，f′(x)<0， 故f(x)在(－2,2)上为减函数； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(2，＋∞)上为增函数． 由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c， f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16. 由题设条件知16＋c＝28，得c＝12. 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3， f(2)＝－16＋c＝－4， 因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. 要想学好导数相关知识内容，就要主动去解决学习导数中遇到的困难，寻找有效的方法和技巧。如可以加强对数学的阅读理解能力的培养；加强对导数概念的理解；加强对相关公式记忆以及运算求解能力的培养；加强对基本解题思想和方法的学习；加强对数学文化的学习，提高对导数的学习兴趣等等。 本文转载自【吴国平数学教育】
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