几何画板解析2017年辽宁锦州中考倒一（函数相关）

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（2017·辽宁锦州）如图，抛物线y=x²+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；

（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒根号2个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？

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【图文解析】

（1）简析：由抛物线y=x²+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，可得关于b,c的方程组，解得b=﹣2，c=﹣3，所以抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣3.

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（2）根据抛物线解析式求出点A（3，0），则AB=3﹣（﹣1）=4，因∠APB=90°且A、B两点是定点，而P是一个动点，故点P的运动轨迹是以AB为直径的圆，又因点P同时还在抛物线上，故以AB为直径作圆发现与抛物线有两个交点，且都在x轴下方，则这两交点即为所求，如下图：

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因点P在抛物线上可设P（m，m²﹣2m﹣3），过点P作PH⊥x轴于H，则H（m，0）（﹣1≤m≤3），则PH=﹣（m²﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，如下图：

解法二：

由勾股定理得：AB²=PB²+PA²，也可以列出m的方程,同样可以求出点P的横坐标。

解法三：

可以抓住PH相等也可以列出m的方程,用方程方法，,同样也可以求出点P的横坐标。

【小结】

动点的题目经常可以根据点所在什么图象用一个字母设点坐标，然后利用相似，相等，勾股定理，三解函数等方法列方程，解出方程就可以求出点坐标。

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（3）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=5，ON=2，AN=3+2=5，所以△DNA是等腰直角三角形．如下图：

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即点M的运动时间等于折线BQ+QG的长度值．所以要使运动时间最少，就是要使这两条线段之和最短。由垂线段最短可知，当B、Q、G三点共线且BG⊥x轴时，BQ+QG最短。故过点B作BE⊥x轴交DK于点E，则t_最小=BE，BE与直线AD的交点，即为所求之Q点．

∵A（3，0），D（﹣2，5），

∴直线AD的解析式为：y=﹣x+3，

∵B点横坐标为﹣1，∴y=1+3=4，

∴Q（﹣1，4）．

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综上所述：当点Q的坐标是（﹣1，4）时，点M在整个运动过程中用时t最少。

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【反思】

1、 求运动时间最少问题经常可以象这题一样转换到求线段之和最短问题来解决。

2、 求最短路径问题主要根据是：两点之间线段最短或垂线段最短。

3、 若遇到求多条线段之和最短的题目经常要找一条与它们都关联的线段来帮助解决。

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