几何画板解析2017年浙江湖州中考倒一（函数相关）

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2017年浙江湖州中考倒一（函数相关）

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（2017·湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L₁：y=ax²+b₁x+c₁（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L₂：y=ax²+b₂x+c₂（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．

（1）若a=﹣0.5，m=﹣1，求抛物线L₁，L₂的解析式；

（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；

（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

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图文解析：

（1）简析：利用待定系数法，只需将A、C点代入y＝ax²+b₁x+c₁中，求得：

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（2）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0).

       先分别求出过A、C两点（或过B、C两点）且a=－1的抛物线解析式；分别为：L₁为y=﹣x²+（m﹣4）x+4m；L₂为y=﹣x²+（m+4）x﹣4m；

        进一步，通过配方，求得:顶点D、E的坐标分别为：

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如下图示，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

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当AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2.

       分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2得：

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附：实际符合条件的图形如下：

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（3）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0).

抛物线的解析式分别为：

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如下图示，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

       假设AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2.

       分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2得：

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反思：数形结合思想是依托，“式的变形与计算”是关键.

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