已知:抛物线C1: y=x2-2a x 2a 2 顶点P在另一个函数图象C2上, (1)求证: 抛物线C1必过定点A(1,3);并用含的a式子表示顶点P的坐标; (2)当抛物线C1的顶点P达到最高位置时,求抛物线C1解析式;并判断是否存在实数m、n,当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n,若存在,求出求m、n的值;若不存在,说明理由; (3)抛物线C1和图象C2分别与y轴交于B、C点,当△ABC为等腰三角形,求a的值. 【图文解析】 1) 方法1: C1:y=x2-2a x 2a 2 =x2-2a(x-1) 2 令 2a(x-1)=0,则 x=1; 代入可得:y=3. 所以,过定点A(1,3). 方法2(直接代入): 当x=1时,y=1-2a 2a 2=3; 所以,过定点A(1,3). 再化一般式为顶点式: y=x2-2a x 2a 2 =(x-a)2-a2 2a 2; 所以顶点P(a,-a2 2a 2). 2) 抛物线C1的顶点P达到最高位置时,也就是点P的纵坐标取最大值时; 可以令k=-a2 2a 2=-(a-1)2 3; 当a=1时,k有最大值为3;此时P(1,3); 所以:y=x2-2 x 4 =(x-1)2 3 ≥ 3; ∵ 当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n 可得: 3≤3m≤y≤3n; ∴1≤m≤n 如下图示: 由增减性可得:当1≤m≤x≤n ,y随x的增大面增大; 当x= m时, y= 3m,当x= n时,y= 3 n; 因为1 ≤ m ≤n; 所以: m=1; n=4. 3) 如下图示: ∵ 抛物线C1: y=x2-2a x 2a 2 与 y轴交于B点; ∴ B(0,2a 2) ∵ 顶点P(a,-a2 2a 2)在函数C2上, ∴ C2的解析式为:y=-x 2 2x 2; 图象C2与y轴交于C点; ∴C(0,2) ∵A(1,3) 由勾股定理得: ∵△ABC为等腰三角形 ∴ 分三种情况讨论: 【反思】 本题是二次函数的综合题型,综合性较强,有一定的难度,并且含有参数。这一类题型往往是学生就最头疼的。运用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想是解题的关键. 特别推荐: |
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