第25期：一线三等角与半角模型综合题

【知识回顾】

概念1：一线三等角模型是一种常见的几何模型，通常指在同一条直线上有三个等角的顶点构成的相似图形。本公众号的第10期和第11期均对该模型的t特殊情形——全等型进行了详细介绍。

 概念2：半角模型是指在角的内部有等于它的一半且与它共顶点的角，常见于正方形等四边形中。

    半角模型的基本条件是： ① 共端点且相等的线段；② 共顶点的倍半角；③对角互补。

    半角模型的解题策略是：在半角的旁边再构造一个半角，从而得到轴对称全等三角形及旋转全等三角形。

    如图所示为常见的半角型，具体介绍请见5月7日的公众号文章。

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【例题】（改编自草根群）（难度系数☆☆☆☆）如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠A=90°，O为BC中点，点E,点F分别在AB,AC上，且∠EOF=45°。

（1）若BE=x，CF=y，求y与x之间的关系式；

（2）求证:AE+EF=FC.

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（1）分析：本题中∠B,∠C，∠EOF均为45°，符合“一线三等角”模型特征，故此问考虑从相似入手。

【解答】∵∠A=90°，AB=AC

              ∴∠B=∠C=45°

             ∴∠1+∠2=135°

             ∵∠EOF=45°，且∠2+∠EOF+∠3=180°

             ∴∠2+∠3=135°

             ∴∠1=∠3

             又∠B=∠C

             ∴△BEO∽△COF

            

           

              ∵AB=2

           

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（2）分析：过O点分别作AB,AC的垂线，显然可以得到一个正方形，而∠EOF=45°，恰好是直角的一半，加上似曾相识的结论，让人不禁想到了半角型！如图所示，看出来了吗？         

【解法一】作OG⊥AB,OH⊥AC，垂足分别为G,H，在HC上取一点K，使HK=GE，连接OK。

    ∵∠B=∠C，OB=OC,∠OGB=∠OHC=90°

    ∴△OGB≌△OHC,∴OG=OH

   ∵GE=HK,∠EGO=∠KHO=90° 

   ∴△EGO≌△KHO,

   ∴∠GOE=∠HOK

   ∵∠GOE+∠EOF+∠FOH=∠GOH=90°

   ∴∠GOE+∠FOH=45°

    ∴∠HOK+∠FOH=45°

    即∠FOK=∠EOF=45°

    又∵OE=OK，OF=OF

    ∴△EOF≌△KOF

   ∴EF=KF

   ∴GE+FH=EF

   又∵GE=1-AE, FH=FC-1

   ∴1-AE+FC-1=EF

   即AE+EF=FC

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【解法二】作∠AOG=45°，OG交AC于G，连接AO

                   

    ∵△ABC是等腰Rt△，O为BC中点

    ∴AO=CO，∠AEO=∠C=45°

      且∠1+∠2=90°

   又∵∠EOG=45°+45°=90°

    ∴ ∠2+∠3=90°

    ∴∠1=∠3

    ∴△AEO≌△GCO

    ∴EO=GO，且AE=GC

    ∵OF=OF，∠EOF=∠FOG

    ∴△EOF≌△GOF

    ∴EF=FG

   ∴AE+EF=GC+FG=FC

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      解法二比解法一显然要简单一些，它们有什么共同点呢？仔细研究发现，首先它们都是半角模型，只不过解法二的半角与倍角共了一条边；其次，两种解法都构造了双全等，轴对称全等和旋转全等。经验告诉我们，半角模型辅助线作法往往是以构造轴对称全等为目的，但在证明过程中，却一般需要先证明旋转全等，才能证出轴对称全等。

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【方法提炼】

   无论是一线三等角模型还是半角模型，其目的是构造相似或者全等，达成目的的关键在于证角相等，第（1）中的证∠1=∠3，第（2）中的 证∠EOF=∠FOK的技巧希望同学们要了然于胸，烂记于心！因为这是关乎成败的关键一角,也是所谓的“临门一脚'!

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【解题感悟】

有道是： 

一线三等角；

相似两边找。

若是半角型；

则往全等靠。

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