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回复关键词，领取相应学习资料 收获 高中数学 / 高中化学 / 高中物理 / 高中生物 等 很多人都觉得数学学习非常难，要想提高数学成绩，不仅要去掌握众多知识点，更重要的是学会运用相应的知识点、方法技巧等去解决实际问题。学好导数对于学好整个高中数学显得尤为重要，在高考数学中，如何在函数题目、几何题目、不等式题目中运用导数成为高考数学重要的热门考查对象。今天通过对高考导数常考题型进行分析，解决如何把复杂问题简单化，让解题变得更加容易。你绝对不能错过！ 1、确定函数f(x)的定义域； 2、求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根； 3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； 4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。 典型例题分析1： 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)当a＝2时， f(x)＝(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， ∵ex＞0， ∴－x2＋2＞0， (2)若函数f(x)在R上单调递减， 则f′(x)≤0对x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立． ∵ex＞0， ∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0， 即a2＋4≤0，这是不可能的． 故不存在a使函数f(x)在R上单调递减． 函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值。 函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值。 典型例题分析2： 设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－1/2对称，且f′(1)＝0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值。 解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1， 故f′(x)＝6x2＋2ax＋b， 从而f′(x)＝6(x+a/6)2＋b－a2/6， 即y＝f′(x)关于直线x＝－a/6对称． 从而由题设条件知－a/6＝－1/2，即a＝3. 又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0， 得b＝－12. (2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， 所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)， 令f′(x)＝0， 即6(x－1)(x＋2)＝0， 解得x＝－2或x＝1， 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， 即f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 当x∈(－2,1)时，f′(x)<> 即f(x)在(－2,1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 即f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21， 在x＝1处取得极小值f(1)＝－6. 1、导数的几何意义理解不完整,极值、极值点、取得极值时的点概念混淆,取得极值的条件不清楚； 2、公式理解不深刻,运算性质记忆不牢,导函数及其图像的性质掌握不透彻； 3、导数的最基本应用能力不足,导数的知识迁移能力差,与导数的应用相关的解题思想方法不熟悉,对导数的应用存在恐惧心理。 1、确定函数的定义域； 2、求方程f′(x)＝0的根； 3、用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； 4、由f′(x)＝0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况。 1、求函数在(a，b)内的极值； 2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； 3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 典型例题分析3： 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16. (1)求a，b的值； (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． 解：(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b， 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16， (2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c； f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)． 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， 故f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 当x∈(－2,2)时，f′(x)<> 故f(x)在(－2,2)上为减函数； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(2，＋∞)上为增函数． 由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c， f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16. 由题设条件知16＋c＝28，得c＝12. 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3， f(2)＝－16＋c＝－4， 因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. |
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