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关于超穷理论的内容，我分成上中下三部分，第一部分讲“数学历史'，第二部分将'无穷大基本概念',第三部分讲“超穷理论”，喜欢的读者朋友们，可以根据自己的喜好选择其阅读内容。 上篇我们讲到康托尔在他老师去世后，他的论文发表不再受到阻碍，许多重要概念接踵而至地得到发表，要理解那些概念，我们需要“装备”一些知识才行。 我们先来看看无穷大的“主观”定义：形容没有穷尽，没有止境，无量无限。 无穷大符号 在数学中，我们很容易找到无穷大的例子：整数个数，平方数个数，实数个数……，这里可能会有人要停顿了，按照局部和整体的关系，平方数是整数的一部分，但两个都是无穷大，是否有点说不过去！——是的，在无穷当中，“整体大于局部”的常识不再成立。 另外，我们要明确一个概念，就是无穷不能作为数来比较大小，因为无穷只是种趋势，这里我用欧拉常数γ来解释： 欧拉常数γ 这是高等数学中一个非常出名的常数，γ常数频繁出现在高等微积分中，但它的定义特别有趣，是调和级数和对数函数“差的极限”，也就是说调和级数和对数函数的图像最后居然趋近于“平行”，我们知道调和级数的值是可以取到无穷大的，对数函数也是，那我们能认为这里面∞－∞＝0.5772……吗？ 当然不行，解决这个困境的办法，就是不能把无穷大当做数，来参与“常规”运算，因为这里的无穷只是趋近方式，当然，你用任何一个条件收敛级数，也可以得到同样的结果。 我们这里对无穷的处理方式比较特殊，其实，类似的技巧在数学中广泛地使用，比如射影几何当中，有条非常优美，而且非常强大的原理叫对偶原理：在射影平面上，如果在一个射影定理中把点与直线的观念对调，即把点改成直线，把直线改成点，把点的共线关系改成直线的共点关系，所得的命题仍然成立。 对偶性 比如命题：两条直线必定相交于一点。 对偶命题：过两点只能做一条直线。 然而这条原理有个前提，就是我们必须把平面内的平行线，假设在无限远处相交，否则该原理存在众多特例将会崩溃。平行线在无限远处相交？不就是不相交嘛——没错，描述不同，但是这样修改的意义非常大，一旦我们默认这条描述，这个定理将推广到n维几何当中成立，而且没有例外。如果没有对偶原理，某些证明将会变得异常艰难，而且该原理存在于各个领域，物理学中，逻辑学，离散数学中…… 既然如此，为何我们不接受这种平行线相交于无穷远的描述呢，这里的无穷大不是数，也是我们采用了这种处理办法，一旦我们采用这种方式，那么无穷大的众多矛盾就突然消失了。 如果你还把无穷大当做一个数，那说明你的数理水平，还停留在第二次数学危机解决之前。 第二次数学危机 那么，对于整数个数，实数个数这些无穷大，我们真的就无法区分了吗？？？换句话说：这些无穷大是一样的吗？？？ 康托尔告诉我们——当然不是，不然我们还研究它做什么！ 康托尔 首先，我们认为两个事物是一样的，是如何判断的呢？ 我们可以找它的相同点，如果都具有一样的性质他们就是一样的；我们还可以找它们的不同点，如果也具有一样的不同点性质，那么也可以判断它们是一样的。 康托尔的研究，也是基于这个思路！ 那么我们怎么去找无穷之间的不同呢？首先是生成方式，比如整数个数和平方数个数生成的无穷，生成方式就存在区别，不过这点我们研究了也没有用，因为除此之外我们得不到无穷的任何信息。 但是！！！数学中有个极强的用于比较的工具——射映！概念我无需解释，大家利用高中知识就能明白，因为高中时我们用得可多了！ 线段射映 我举几个例子：1→1，2→4，3→9，4→16……，这是正整数一一对应平方数的办法。 利用同样的的方法，我们能举出更多例子，有人会说，这不就是函数嘛，没错，就是函数，但这里的射映，不再限制自变量的个数和性质。 射映是个非常好的概念，因为它将带我们揭示不同无穷大之间的差异，所以对射映的理解，决定了你是否能理解不同无穷大之间的区别。 在下篇中，我们将带你去看看，康托尔的超穷理论将给我们带来哪些惊喜！ |
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