高中数学 | 利用构造法解题

一、构造函数解题

例1、（1）在实数范围内解。

（2）解不等式

解析：（1）原方程变形为。

设函数，上述方程即为。

由于在上是单调增函数，故若，则必有成立。因此，即，故原方程有唯一解。

（2）设，，易证f(x)在区间上为增函数。

，

为奇函数，从而f(x)在区间上为增函数，

原不等式可化为，即，即。

 

二、构造一元二次方程解题

例2、已知三内角A、B、C的大小成等差数列，且，求A、B、C的大小。

解析：由题知，联想到，由A、B、C成等差数列，得，故。

是方程的两根，得。当A<>时，，得；当时，，得，，。

 

三、构造数列解题

例3、已知，求满足的正整数n的取值范围。

解析：

因此可知数列是以为首项，以为公比的等比数列。

。

，得。所求n的取值范围是。

 

四、构造几何图形解题

例4、试证：对任何，都有

，当有仅当时等号成立。

分析：观察题目特点，从联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。

解析：根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，，由余弦定理得：

在中，，则。但当A、D、C三点共线时等号成立，此时，，即。

，即

例5、设关于的方程在区间（0，）内有相异的两个实根。求实数a的取值范围。

解析：设，则由题设知，直线与圆有两个不同的交点A（）和B（）。

即原点O到直线的距离小于1，即。

解得：。

又因为、，且，直线不过点（1，0），即。

所以，即