【课程】西南科大网教学院_数学分析41_12.2 二重积分的计算

12.2  二重积分的计算

 二重积分定义本身已给出了计算二重积分的一种方法，但是，这种方法具有很大的局限性. 因此，本节将给出计算二重积分常用的方法      直角坐标系下化二重积分为两次定积分（累次积分）的方法和变量代换法.

一、 直角坐标系下二重积分的计算

    设在有界闭区域可积，按定义，存在常数对于上的任何曲线网，将分成n个小区域：

对，任取，恒有

其中：．特别地，对于上平行于坐标轴的任何直线网，将分成n个小区域：

其中：．从而

这时，我们有

即，如果在有界闭区域可积，则二重积分

．

    定理12.2.1  若在连续，则

．

　　这个定理表明：二重积分可化成两个定积分来进行计算．

    定理12.2.2  若在连续，且在连续，则

形如（如图12-2-4）的区域称为X-形区域．

     定理12.2.2说明：在计算型而二重积分时，可以化为先对后对的累次积分. 取积分限的方法是：先将投影在轴上, 得一区间. 然后在区间任一点, 先把中的以及中的都看作常数, 看作变量, 在的变量区间对积分. 这样的积分结果显然是的函数, 然后将这个函数在的变化区间对积分.

    前面所讲的求二重积分的方法是把二重积分化成先把看作常数，对积分，再对进行积分，即利用两次求定积分的办法求得二重积分的值．这种方法叫做“累次积分法”．今后，我们可以把形如：

的累次积分记为：

同理，我们也可以把一些二重积分化为先对，再对的累次积分．即类似于定理12.2.1与定理12.2.2，我们有如下两个定理：

    定理12.2.1*  若在连续，则

．

定理12.2.2*  若在区域

连续，在都连续，则

．

形如本定理中的区域称为-型区域．

    一般说来，在求二重积分的值时，若区域是-型区域，则应该先对变量积分，再对变量积分，若区域是-型区域则恰相反．

 

12.2.2 二重积分的变量代换法

    二重积分化为累次积分，相对于用定义计算二重积分来说，其计算简化了许多；但并不能使所有的二重积分的计算都简单话. 若适当地引入变量代换，可以使被积函数简单化. 更重要的是可将给定的较复杂的积分区域变为简单区域，如矩形域、圆域或部分圆域等. 我们先来回顾一下定积分变量代换的要点.  

从定积分变量代换公式

可以看出，它主要解决两个问题：一是积分限问题；二是被积函数的表达式问题，特别是的变换问题．对二重积分变量代换法也要解决与上述类似的两个问题．一是积分域的变换问题；二是被积函数表达式的变换问题．事实上，二重积分在极坐标系中的计算就是变量代换的一种特殊情况．

1．利用极坐标换元计算二重积分

定理12.2.3  设在有界闭区域

上连续，且其中

都是极坐标曲线．则

典型例题：

  例1.  计算二重积分，其中是直线和双曲线围成的有界闭区域．

    解  (法一)

            

    上面我们是将区域看成-型区域：

，因此，先对积分，再对积分．我们也可以将区域看成两个-型区域与来计算该二重积分．

    (法二)

例2.  计算由旋转抛物面，柱面, 平面 所围的曲顶柱体体积．

    解  曲顶柱体的体积V是二重积分

例3.  在下列积分中改变累次积分的次序．

(1)       

(2)

    解 (1)  因是由在区域

上的二重积分转化成的二次积分，即

而

故        ．

(2)        因原累次积分是在区域

的二重积分，即