例1、如图,已知:在⊙O中, =2 ,试判断∠AOB与∠COD,AB与2CD之间的关系,并说明理由. 分析:根据条件确定图形,观察、分析、猜想,特别是两条线段的不等关系,常常把两条线段放到一个三角形中. 解:∠AOB=2∠COD, AB<2CD,理由如下: 如图,在⊙O上取一点C ’,使 = .∴∠COD=∠DOC’ ∵ =2 ,∴, = + = . ∴AB=CC’. ∠AOB=∠CO C’=∠COD+∠DOC’=2∠COD 又∵在△CDC’中,CD+DC’> CC’,∴CC’<2CD,即AB<2CD. 说明:此题进一步理解定理及其推论的应用条件,在“相等”问题中的不等量.由 =2 可得∠AOB=2∠COD是正确的,但由 =2 得出AB=2CD,是错误的,培养学生在学习中的迁移能力. 例2、如图,已知:AB是⊙O直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,求证: = . 分析:要证弧相等,可以证弧对应的弦相等,弧对应的圆心角相等. 证法一:连结AC、OC、OD、BD, ∵M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB, ∴AC= OC、OD=BD 又∵OC=OD,∴AC= BD,∴ = . 证法二:连结OC、OD, ∵M、N分别是AO、BO的中点,∴OM=AO,ON= BO, ∵OA=OB,∴OM=ON, ∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴OC=OD, ∴Rt△COM≌Rt△DON,∴∠COA=∠DOB,∴ = . 证法三、如图,分别延长CM、DN交⊙O于E、F, ∵M、N分别是AO、BO的中点,∴OM= AO,ON= BO, ∵OA=OB,∴OM=ON, 又∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴CE=DF,∴ = ∵ = , = ,∴ = . 说明:此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目,题目不难,但方法灵活,培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法. 例3、如图,已知:在⊙O中,OA⊥OB,∠A=35°,求 和 的度数. 分析:连结OC,通过求圆心角的度数求解. 解:连结OC, 在Rt△AOB中,∠A=35° ∴∠B=55°,又∵OC=OB, ∴∠COB=180°-2∠B=70°,∴ 的度数为70°, ∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°, ∴ 的度数为20°. 说明:此题是基本题目,目的是巩固基础知识. 例4 如图,C是⊙O直径AB上一点,过C点作弦DE,使CD=CO,若 的度数为40°,求 的度数. 分折: 要求 的度数,可求它所对的圆心角∠BOE的度数,如图作辅助线,通过等量转换得出结果. 解: 连OE、OD并延长DO交⊙O于F. ∵ 的度数为40°,∴∠AOD=40°. ∵CD=CO, ∴∠ODE=∠AOD=40°. ∵OD=OE, ∴∠E= ∠ODE=40°. ∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°,∠BOF= ∠AOD=40°, 则∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°,∴ 的度数为120°. 说明:此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换. |
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来自: 百眼通 > 《10旧版数学-446》