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【知识点】初中数学轴对称相关知识点,收藏备考!

2018-01-06  小绵羊佩...

1.轴对称的定义

把一个图形沿着某一条直线翻折,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,也叫做对称点。

【轴对称指的是两个图形的位置关系,两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合。成轴对称的两个图形一定全等。】


2.轴对称图形的定义

把一个图形沿着某直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形是轴对称图形,这条直线就是对称轴。

【轴对称图形是指一个图形,图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条,也可能有两条或多条,因图形而定。】


3.轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的主要区别:轴对称是指两个图形,而轴对称图形是一个图形;轴对称图形和轴对称的关系非常密切,若把成轴对称的两个图形看作一个整体,则这个整体就是轴对称图形;反过来,若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形,则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称.。


4.轴对称的性质

轴对称的性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分;成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称;成轴对称的两个图形全等。


5.线段的轴对称性

①线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴。

②线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

【①线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件。②三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心。】


6.线段的垂直平分线

垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线。


7.角的轴对称性

(1)角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴。

(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。

(3)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

【①用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等。若CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF】


        
【②用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD平分∠ADB 】


8.角平分线的画法

角平分线的尺规作图  

●真题精选

考点1 判别轴对称图形

例1 (2013年咸宁)下列学习用具中,不是轴对称图形的是(   )

分析根据轴对称图形的概念:把一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形,对各选项逐一判断即可。

选项A、B、D是轴对称图形,选项C不是轴对称图形,故选C。

考点2 线段的垂直平分线的性质

例2 (2013年泰州)如图1,在△ABC中,AB+AC=6 cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D,则△ABD的周长为  cm.

分析根据线段垂直平分线的性质,可得DC=DB,进而可确定△ABD的周长。

因为l垂直平分BC,所以DB=DC

所以△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6 cm.故填6。

考点3 画轴对称图形

例3 (2013年哈尔滨)如图2所示,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN,点A,B,M,N均在小正方形的顶点上,在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上),使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形,点A的对称点为点D,点B的对称点为点C。

分析:过点A画直线MN的垂线,垂足为O,在垂线上截取OD=OA,D就是A关于直线MN的对称点;同理,画出点B关于直线MN的对称点C;连接BC,CD,DA,即可得到四边形ABCD。

解:正确画图如图3所示。

例4 (2013年重庆)作图题:(不要求写作法)如图4所示,ABC在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为A(-2,1),B(-4,5),C(-5,2)。

⑴作ABC关于直线l:x=-1对称的A1B1C1,其中,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1

⑵写出点A1,B1,C1的坐标。

分析:⑴根据网格结构找出点A,B,C关于直线l的对称点A1,B1,C1,然后顺次连接即可;⑵直接根据平面直角坐标系写出点A1,B1,C1的坐标。

解:⑴画A1B1C1如图5所示。

⑵A1(0,1)、B1(2,5)、C1(3,2)。

考点4 关于x轴或y轴对称的点的坐标

例5 (2013年遂宁)将点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′,点A′关于y轴对称的点的坐标是(  )

A.(-3,2)      B.(-1,2)

C.(1,2)      D.(-1,-2)

分析先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标,再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解。

因为将点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′,所以点A′的坐标为(-1,2)。所以点A′关于y轴对称的点的坐标是(1,2),故选C。

考点5 等腰三角形的性质

例6 (2013年台湾)如图6,在长方形ABCD中,M为CD中点,分别以B,M为圆心,BC,MC长为半径画弧,两弧相交于点P。若∠PBC=70°,则∠MPC的度数为(   )

A.20°     B.35°     C.40°     D.55°

分析:根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP,然后求出∠MCP,再根据“等边对等角”求解即可.

因为分别以B,M为圆心,BC,MC长为半径的两弧相交于点P,所以BP=BC,MP=MC。

因为∠PBC=70°,所以∠BCP=(180°-∠PBC)=(180°-70°)=55°

在长方形ABCD中,∠BCD=90°,所以∠MCP=90°-∠BCP=90°-55°=35°

所以∠MPC=∠MCP=35°,故选B。

考点7 等边三角形的性质

例8 (2013年黔西南州)如图8,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数为      

分析根据等边三角形的性质,可知ACB=60°,根据等腰三角形底角相等即可得出E的度数。

因为△ABC是等边三角形,所以∠ACB=60°,∠ACD=120°

因为CG=CD,所以∠CDG=30°,∠FDE=150°

因为DF=DE,所以∠E=15°,故填15°

考点8 含300角的直角三角形的性质

例9 (2013年泰安)如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线于点F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是            

分析根据题意推得DBE=30°,则在RtDBE中由“30°角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度。

因为FD⊥AB,所以∠ACB=∠FDB=90°

因为∠F=30°,所以∠A=∠F=30°

又DE垂直平分线AB,所以∠EBA=∠A=30°

因为DE=1,所以BE=2DE=2,故填2。

●误区点拨

误区1  轴对称含义理解不清致错

例1 如图1中的(1)、(2)两个图形成轴对称,请画出它们的对称轴。

错解:如图1所示的直线MN

剖析:沿直线MN对折,在直线MN两旁的图形的确可以互相重合,但这里要求的是画(1)、(2)的对称轴,而MN并不是这两个图形的对称轴。画成轴对称的两个图形的对称轴时要注意所指的是哪个两个图形,特别注意当这两个图形本身也是轴对称图形时,不要把各自图形的对称轴作为两个图形的对称轴。

正解:如图1所示的直线PQ


误区2 对轴对称的性质理解不深致误

例2 如图2,已知A,C两点关于BD对称,下列结论:①OA=OC;②OB=OD;③AD=CD;④AB=CB。其中正确的有             (填序号即可).

错解:填①②③④.

剖析:错解“A,C两点关于BD对称”错误理解为“AC,BD互相垂直平分”,实际上OA=OC,AB=CB,AD=CD成立,但OB=OD不一定成立。

正解:填①③④.

END

编辑:骁骁

标签:知识汇总

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