高中数学 | 过抛物线焦点的直线和抛物线相交，两个交点纵坐标积的应用

性质：过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为，则。

证明：由题意知，直线若为x轴时，与题意不符。（1）当过焦点的直线不垂直于x轴时，设方程为，即，代入方程中得。

设此方程的两根为，由韦达定理得。

（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，代入得，由韦达定理得。

例1、过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，求证：抛物线在这两点的切线互相垂直。

分析：过抛物线上的任一点（）的切线方程为。

证明：设抛物线方程为，过焦点的直线与抛物线交点A（），B（）两点，两切线交于点T。则切线TA与TB的方程分别为，，它们的斜率分别为。由以上性质易得，故两切线互相垂直。

例2、过抛物线焦点F的一条直线与它交于P、Q两点，过P和抛物线的顶点的直线交准线于M。求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

证明：因抛物线的准线方程为，设F，P，，M，由题意知P、Q、M三点共线，直线方程为。

当时，，由以上性质得，故点M的纵坐标等于点Q的纵坐标，即直线MQ平行于抛物线的对称轴。

 

例3、过抛物线焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点，过点P作准线的垂线垂足为S，求证：S、O、Q三点共线。

证明：如图，设P（），Q（），则。

故线段OQ的斜率。

又因，，故S的坐标为。

设SO的斜率为，则，于是S、O、Q三点共线。

 

例4、过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于它的对称轴，且与抛物线相交于两点，线段叫做抛物线的通径。求通径的长。

解析：设（），（）。

因直线过焦点F且垂直于对称轴，故，由本文讲的性质知，故。

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