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书接上回大魔王拉格朗日的故事及拉格朗日中值定理，大魔王拉格朗日有个徒弟柯西 “苦瓜”数学家柯西的故事及柯西中值定理，上次我们说了柯西的伟大成就，但是大家也有黑历史，这次我们就来挖一挖坑人的柯西先生。 阿贝尔和伽罗瓦是数学界让人最惋惜的两颗绚烂流星。 他们出生在同一个时代，各自都解开了困扰无数数学家250年的四次以上方程式的解法。 阿贝尔（左）和伽罗瓦（右） 阿贝尔13岁就展露数学才华，他学习如牛顿、欧拉等数学大家的理论，甚至能从中找出他们的小漏洞。 他自己研究出五次方程式的解法，前人五百多页的解题思路都不能完全解决的问题，他只用六页就足以解释一切。 而伽罗瓦更是年少有成，他在19岁时就提出了著名的群论，完美的解决了五次以上的方程式求解问题。
群论的逻辑线 他们都是不出世的天才，如果没有被这一个人坑的话，他们必然能成为极伟大的数学家。 这个人就是大数学家柯西，“柯西不等式”的柯西。 为纪念柯西这位伟大数学家出的纪念邮票 他曾任职多个教授职衔，一生写了789篇论文，许多公式以柯西名字称呼。 但拉格朗日对柯西性格的担心也不是毫无道理。 他作为久负盛名的科学泰斗，却时常忽视青年学者的创造。 因为柯西的不靠谱，群论晚问世了半个世纪之久。 故事要从阿贝尔开始说起，十九世纪挪威最伟大的数学家出生在一个穷困的牧师家庭本身就是一种悲哀。 阿贝尔的父亲在他18岁那年去世，还在读大学的阿贝尔突然就要担起照顾全家的重担。 所幸他在读的奥斯陆大学的老师们都没放弃这位天才，他们一起资助了阿贝尔。 阿贝尔勤奋自学，一边还花大量时间作研究，研究方向就包括了四次以上方程的求解。 一元四次方程求解公式，可以窥见五次的难度 当时意大利的数学家鲁菲尼以五百多页的证明对一元五次方程求解做了论述，并在柯西的推动下发展出了最初的置换群思想。 阿贝尔22岁时在置换群思想帮助下，发表了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，论文不仅以数万字的内容代替了鲁菲尼五百多页的证明，甚至还做了许多的补充。 可是他实在付不起印刷的钱，于是数万字的论文稿再次被压缩成6页纸。 阿贝尔将这6页论文寄往各地著名的数学家，希望能够得到肯定。 阿贝尔的手稿 阿贝尔苦苦等待，却得不到回复。所幸一年前发表的第一篇论文为他争取到了一笔政府的进修资助金。 阿贝尔带上这笔钱，开始造访各地名家，他在德国柏林拜访数学王子高斯时，遇到了一生挚友克列尔。 高斯根本不相信阿贝尔能够用6页解答这个超级数学难题，只有克列尔感到十分地惊喜。 克列尔同时也非常珍视阿贝尔这个好朋友，他开创的纯数学和应用数学杂志第一期就刊登了阿贝尔在五次方程的工作结果。 数学王子高斯，处事常被诟病 只是可惜当时两人都是名声不显的毛头小子，除了鼓励并不能给对方什么实质帮助。 阿贝尔随后来到巴黎，造访了许多数学大家，并将自己的手稿交到法国科学院去。 科学院秘书读了阿贝尔完整论文的引言，心里已经是感觉到了震惊异常，随即委托柯西审查。 可哪知道他一不留神就把阿贝尔推进了柯西的深坑里。 柯西是法国科学院的院士，身负多个教授职衔，是当时最权威的数学家之一。 可谁都知道柯西除了高产还有一个特点：他写的论文都特别长。 为此数学杂志都不够位置刊登他的论文，他一怒之下办了专刊，专门发表自己的论文。 当他拿到一份6页的论文时，他根本提不起重视的心情。 他欢脱的带着稿件回了家，可事后竟然记不起放在什么地方！ He was one of the greatest of modern mathematicians. 阿贝尔在巴黎受尽了冷落：住着不便宜的公寓，还遇到一个阴险的房东，论文的事迟迟没有回应，他处境越发难堪。 最终政府的资助金用完了，阿贝尔无奈只得和亲戚借了一小笔钱，准备回挪威。 而他不知道的是，此时他不小心染上的感冒其实是肺结核。 回挪威后，阿贝尔只得靠做代课老师，拿着微薄的津贴，一边维持生计还要一边偿还之前欠下的钱债。 肺结核是由结核分枝杆菌引起的慢性传染病 还债和维持生计已经费尽全力，至于那总好不了的“感冒”已经无力治疗。 更糟的是，他始终没有收到任何人对他方程论的回复，也许是错的离谱才会杳无音讯吧。 即使这样阿贝尔依然没有放弃数学的研究，他在方程和椭圆函数领域研究取得大量成果。 而此时，在好朋友克列尔的帮助下，阿贝尔的名声已经响彻数学中心。
纪念阿贝尔的邮票 有四位法国科学院院士直接上书给挪威国王，让挪威王庭重新认识了阿贝尔。 聘请阿贝尔当柏林大学的数学教授的书信也已经快马加鞭赶去找阿贝尔。 只是可惜，迟来的名望和地位最终都到不了阿贝尔手里，一代天才败给了病魔，所有一切他都不会有机会知道了。
如果柯西能够不弄丢手稿，可以珍视一个晚辈的思想结晶，阿贝尔也就不用如此狼狈收场。 至少可以享受该有的名望和地位，在安然心境下离去。 结局无法改变，年仅26岁的阿贝尔在一个凌晨去世了，去世时只有他深爱的未婚妻克莱利守在他的身边。 克莱利拒绝任何人打扰她和阿贝尔最后的时光，煽情又美好的“单独占有这最后的时刻”。
阿贝尔未婚妻克莱利 葬礼后的第三天，阿贝尔的家人收到了他生前的好友克雷尔寄自柏林的一封信及一份柏林大学的聘书，上面写着：“尊敬的阿贝尔先生：本校聘您为数学教授，望万勿推辞为幸！柏林大学。”这对阿贝尔来说真是是一个迟到的荣誉。阿贝尔去世后一年，法国科学院又授予阿贝尔数学大奖；1841年，那篇被勒让德、柯西遗忘的论文也发表了。这对阿贝尔来说又是一个迟到的荣誉。阿贝尔短暂的一生留下的著作是不多的，但他所作出的贡献却是巨大的，意义也是深远的，正如一位数学家所说：“阿贝尔所留下的思想，可供数学家们工作150年。”今天，在挪威首都奥斯陆的皇家公园里，耸立着一座阿贝尔的纪念碑，纪念碑雕像被构思成攻克两大难题（即五次方程和椭圆函数）的勇士。阿贝尔以光辉的数学成就，在世人的记忆中获得永生。更详细的内容参见：阿贝尔数学大奖背后的故事 这时，另一位少年天才伽罗瓦在法国刚满18岁。 他并不知道在远方的挪威，年轻的阿贝尔去世了。 如果他知道阿贝尔和他一样得出了四次以上的方程式的求解方法，他一定会感到天才之征途不孤独吧。 伽罗瓦比阿贝尔小9岁，他出生在一个善良、智慧的家庭。
伽罗瓦出生的皇后镇，法国大革命期间改名为Bourg-l'Égalité(意思是平等自治镇) 他的父亲在他4岁那年便竞选当上了市长，这让他的生活过的还算充裕。 他在18岁这年，通过自己的努力在代数方程领域取得巨大成果，正是伟大的群论。 似乎冥冥天意让伽罗瓦替阿贝尔完成未完的工作，群论完美的弥补了阿贝尔理论上的不足。 这足以震撼世界的学术成果，在呈交法国科学院之后，极巧的又碰上了坑货柯西负责审阅。
柯西则计划对伽罗瓦的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。 当他将伽罗瓦的研究成果带回家后，竟不小心连同摘要都弄丢，原计划的听取会只得宣读了一篇他自己的论文。 至于伽罗瓦的研究成果？已经因为意外“事故”无法宣读了。
看来伽罗瓦不只是接替了阿贝尔的代数工作，甚至还接替了阿贝尔的倒霉劲。 两个与群论相关的学术内容都被在柯西这发生了奇妙的“事故”，恐怕是柯西不能理解群论的内涵吧？ 只可惜真相已无法得知。
伽罗瓦的家庭在这时遭遇了巨变，他的父亲在新一轮的选举中被对手暗中设局陷害，他父亲不堪其辱，选择了自杀。 这让知晓一切的伽罗瓦感到极度痛苦，父亲的冤死，让他毫无犹豫的选择了和共和主义站在一起。 极端的政治观把伽罗瓦变得极爱作死。 1830年爆发了七月革命，伽罗瓦所在的高等师范学院的校长将学生以禁止参与革命锁在高墙内。
伽罗瓦此时政治的心那是熊熊燃烧呀，对校长的不满变成了校报上一篇言辞激烈的抨击文。 校长也毫不客气的将伽罗瓦逐出校门。 政治立场坚定的伽罗瓦此时失去了墙的保护，反倒是将自己的胸口袒露在政敌的枪口前。 伽罗瓦因为激进的心态，两次被陷害入狱。 伽罗瓦对数学的热爱使他即使备受迫害依然做着数学研究。 备受不公的伽罗瓦在此时遇上他一生最疯狂爱上的女人，那是一个医生的女儿，一名舞女。 即使很多人觉得这是一个“低级客栈里卖弄风骚的女人”，可伽罗瓦就是无法抑制的爱上了她，何况她是主动找上门来的。 伽罗瓦没想到的是，她居然有未婚夫，而她的未婚夫是一位和他一起入狱的军官。 同伽罗瓦一样，这位军官也是一位激进的共和党人。 伽罗瓦和对方争执，还主动提出要以决斗定胜负。
等到伽罗瓦情绪平复的时候，才发现自己毫无胜算。 怎么会和一个玩枪的行家决斗？伽罗瓦来不及害怕，连夜写信给他的朋友们。 他将自己所有在数学上的结果写了下来，期间不停在纸的空白处写上“我没有时间”。 第二天，伽罗瓦如约赴战。
子弹穿过了他的腹部，他最终死在了情敌手下，为了他珍视的初恋。 至此，两个数学界的天才在三年里，相继离世。 十数年后，其他的数学家找到了阿贝尔遗失在柯西家的手稿，也研究了伽罗瓦的信件。 两位早逝的天才留下的财富让世人震惊。
群论推迟了半个世纪问世，最终在数学家刘维尔的推动下才让数学界承认这两位天才的杰作。 此时的柯西已经年过四十，不再进行数学研究工作，只作为一个普通的教授教书育人。 当他回忆当年，曾有两个不世的天才与他擦身而过。 他余下人生教书育人也无法弥补这个巨大的遗憾了。
柯西临死前曾说过，“人总是要死的，但是，他们的功绩永存。” 说的是啊，阿贝尔和伽罗瓦都死了，他们的功绩差一点就永存在柯西家的角落里了。 前方高能 早在几百年前，数学家们就已经搞出来一般的二三四次方程的通解形式，虽然丑，但是有： 二次：  三次： 四次： 五次 然而，到了五次方程的时候，人们发现再也找不到一般的根式表达了。在几代数学家的失败之后，人们开始猜想，是不是不存在五次方程的求根公式了呢？如果五次没有，那么五次以上一定都没有。可是为什么没有呢？ 要知道，要说明一个东西有很容易，要说明所有现有的方法都做不到却很难。这个问题困扰了全体数学家整整两三百年，而最后，却是被一个毛头小伙子——伽罗瓦解决了。 而他的方法，就是开创性的应用了和群论以及域论有关的知识。 群、子群、正规子群 相信不论是学过抽象代数还是没有学过抽象代数的人，都曾听说过群论的鼎鼎大名。那么，到底什么是群呢？ 幻想你来到了另外一个生命星球，来到了他们的小学课堂。这是一门你不知道是什么科目的课，他们说着你不懂的语言。这个时候，你如何搞懂他们在干啥呢？ 你听到老师说：“Ena~ Ena~” 学生们大叫：“Dva！” 老师又说：“Ena~Dva~” 学生们回答：“Omar!” 老师：“Dva~Dva~” 学生：“Kya！” …… 是的，你也许完全不知道Ena、Dva、Omar和Kya是什么，但是你会注意到对于老师给出的两个单词，学生们总是会回答以某一个单词。这就像一个映射一般，对于给定的两个元素，总有一个元素与这个二元组对应。 我们不妨说，学生和老师在讨论一个集合上的某种“运算”，对于给定的两个元素A和B，总存在一个唯一的C与这个运算对应，记为C=A*B 例如上面的情况就可以记为： Ena*Ena=Dva Ena*Dva=Omar Dva*Dva=Kya 最后你听到了老师说：“Ena~Omar~”,学生们异口同声回答：“Kya yesu!” 于是你终于猜到，这好像是加法，Ena=1,Dva=2,Omar=3,Kya=4。而那个运算*，其实就是整数里的加法一样。 所以，我们其实在观察这样一个集合，里面有一堆我们不知道也不关心是啥的元素（比如Ena,Dva,Omar和Kya），然后有一种运算，对于给出的两个元素可以“运算”（其实是我们定义出来）一个结果。 但是请注意，如果仅仅是在一个集合上定义了一个运算，使得运算的结果依然落在集合里，那么这个还不能叫做群，只能叫做一个“半群”（而且请注意，是集合加上这个运算叫做半群，单独的集合什么都不是）。一个集合G和其上面的运算*还要满足下面的几个性质才能叫做群： 1.（之前提过的要求）a，b∈G，a*b∈G 【封闭性：运算结果仍在群中】 2.a,b,c∈G，(a*b)*c=a*(b*c) 【结合律：连续运算顺序无关】 3.存在一个元素e，使得对于所有G的元素x,都有x*e=e*x=x 【存在幺元，或称不变元，与其运算保持不变】 4.对于任何一个元素x，存在一个元素x-1,使得x*x-1=x-1*x=e 【存在逆元，一个元素和逆元运算等于幺元】 对于满足上面这些要求的集合和其上的运算，我们称之为一个群。 我们开始了解，群是一“群”元素，但是他们不是孤立的。这些元素通过一个运算，群里的元素形成了紧密的联系，最简单的例子，就是下面的克莱因四元群： 解释一下，+就是我们前面一直用的*的运算标识，每一行和每一列的交点处就代表着运算的结果。例如e行和f列的交点是g，意味着e+f=g 上面的这个表里有一个0，它和所有元素运算之后保持另一个元素不变，因而是幺元；且每一行、每一列都有e，这意味着每个元素都存在逆元。结合律也可以验证。 但是，抽象代数、或者说是群论，最有魅力的地方就在于，这些元素完全是抽象的，你可以给他们以任何一种合理的诠释，只要满足那几个要求即可。例如，上面的克莱因四元群就和下面的这个正方形重合操作群是一致的： 元素0 元素e 元素f 元素g 注意，这里的每个元素代表着一种旋转或者翻转的操作，在操作前后正方形是重合的，只是顶点的顺序产生了改变。而两种操作元素的“运算”a*b就是先执行a再执行b的操作。【注意：顺序很重要，群里的操作一般不满足交换性，也就是说a*b和b*a是不一样的】读者可以自行验证上面所说的运算表（就像加法小九九一样）。例如e*e=0的意思就是，如果你左右翻转两次，就相当于什么都没有做；e*f=g的意思就是，如果你先左右翻转再上下翻转，其效果等于直接将整个正方形旋转180度。 注意，这里出现了一件有趣的事情。此前我们讨论的例子（比如整数和整数上的加法），这个集合都是无限大的。而这里则不然，只有四个元素，他们无论如何怎么相互运算，都逃不出这四个元素的范围，就像孙悟空逃不出如来佛的手掌心一样。因为要知道，保持正方形的形状但是完成顶点之间的对换还有操作还有很多，比如下面这个按照对角线翻转： 但是克莱因四元群里的四个操作无论怎么任意相互运算，都造不出这样一种操作。运算的任意性和它们形成的操作的有限性形成了如此鲜明的对比，其背后的数学内涵耐人寻味。这四个元素就像一个与世无争的孤岛一样，自己任意运算，却囿于其中。 子群 但是四个元素是最小的孤岛吗？不是！我们接下来介绍子群的概念就告诉我们，在孤岛之内还有更小的孤岛，就像在一个班级之内还是会有更小的朋友圈子。 例如看0和e这两个元素 看到了吗？只看0和e之间，其实他们也是在自己玩，如果我们只有保持不动和左右翻转这两种操作的话，那么其实我们无论怎么对一个正方形变换，得到的肯定就只有正反两种正方形而已，所以道理是显而易见的。 于是我们知道，如果已经有一个集合和一种运算构成了群，而且这个集合内部还有一些更小的集合的子集，他们竟然也满足封闭性（那就是内部任意相互运算不会跑出来），那么就构成了一个小一点的群，我们称之为子群。【我没有提群的剩余三个性质，想一想为什么？】 随便想想就知道，任何一个群至少有两个子群：一个是自己全部，一个是仅仅包含不变操作的幺元的集合。但是还有一些既不是自己又不仅仅是幺元的子集，它们是非平凡的子群。 而最简单的例子，就是上面的克莱因四元群。要知道，正方形的四个顶点任意排列操作可是有4!=24种可能性的，但是克莱因四元群只有四个元素，它们任意运算就出不了这个集合。 正规子群 但是子群里还有一类具有更独特地位的子群，那就是正规子群。（后面伽罗瓦证明根式解的时候，与正规子群的性质息息相关）。正规子群当然是子群，但是它是一类更有趣的（或者说性质更好的）子群。 正规子群在子群的基础上做了这样的要求：在外界看来，这个子群自成一个圈子。什么叫做自成一个圈子呢？那就是任何一个元素x从左边和这个子群N里的元素运算出的所有结果（记为xN），和从右边作用这个子群运算得到的所有结果（记为Nx）是同样的（xN=Nx）。也就是说如果我们把N中的元素称作N类元素的话，那么一个元素和N类元素的运算与它在左边还是右边无关。 换句话说，我们如果在等式两边右乘上x的逆x-1，就能得到xNx^{-1}=N。这个式子非常重要，记住它，最后会用到它。 关于群论和域论明天再见 |
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