高中数学 | 利用均值不等式求函数的值域

是一个重要的基本不等式，可以求函数的值域。在应用该不等式时，务必注意其条件：一是正数条件，即a、b都是正数；二是定值条件，即和是定值或积是定值；三是相等条件，即a＝b时取等号，简称“一正、二定、三相等”。当条件不具备时，需要进行适当的转化，再求解。

一、不具备“正值”条件时，需将其转化为正值

例1、求函数的值域。

因不一定是正值，故需先将其转化为正值。

解析：当时，

，当时取等号。

当时，

，当时取等号。

则函数的值域为

例2、已知，求函数的值域。

解析：由题意知，

因此，

，当且仅当时，即时，等号成立。

∴函数的值域为

二、不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件

在利用“均值不等式”求值域时，若不具备“定值”条件，需将其构造成定值，并巧妙用“定值”这个条件对所求式子进行分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式。

例3、已知，求函数的值域。

因的积不是定值，故需先将其构造成定值。

解析：

，当且仅当时，即时，等号成立。

∴函数的值域为

三、不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域

例4、已知，求函数的值域。

若直接利用均值不等式，则有，当时，等号成立，而，所以等号不成立。

解析：∵在上为减函数

∴函数在上为减函数

∴函数在上的最小值，此时

∴函数的值域为

例5、已知，求函数的值域。

由题意可知均为正数，因的和不是定值，故需将进行适当的变形，构造定值。

解析：

，当且仅当，即时，等号成立。

∴函数的值域为