高中数学：用待定系数法求函数的解析式

待定系数法是一种求未知数的方法。一般用法是：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，从而得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，最后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。

例1、已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，），当x＝4时，y的值为9；当x＝2时，y的值为－3；求这个函数的关系式。

分析：将已知条件代入函数的解析式得到关于的方程再求解即可。

解：依题意得：

∴y＝6x－15

思考：一般地，函数关系式中有几个系数，就需要有几个等式才能求出函数关系式。如，

一次函数关系：

那么，如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？

例2、已知二次函数的图象经过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式。

分析：给出三个条件需要列三个等式，应设二次函数的解析式为一般式。

解：设函数的解析式为，则有

解得

∴y＝1.5x2－1.5x＋1

例3、已知一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的关系式。

分析：本题的题目中给了顶点坐标，所以可设二次函数解析式为顶点式。

解：∵顶点坐标是（8，9）

∴可设函数关系式为：y＝

又∵ 函数图象经过点（0，1）

∴a×＋9＝1   解得a＝

∴函数关系式为：y＝（x－8）＋9

 

例4、抛物线的图象经过（0，0）与（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求它的函数关系式。

分析：根据抛物线的对称性，知顶点的坐标是（6，3）

方法一：可设函数关系式为： 

再将（0，0）点的坐标代入得，解得，所以，所求抛物线解析式为

方法二：设函数关系式为：

由题意，得，解得

所以，所求抛物线解析式为

思考：利用已知条件求二次函数的解析式，常用的方法是待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式求的解析式。如：

（1）给出三点坐标，宜使用一般式：

（2）已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常用顶点式：