初二数学 | 根据分式结构特点，解分式运算中的求值问题

一、巧用配方法求值

例1、已知求的值。

分析：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。

解析：由，由此得

∴

 

二、巧用因式分解法求值

例2、先化简，再求值：

。其中，。

分析：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。因此，希望对因式分解的各种方法熟练掌握。

解析：原式=

∵，

∴，

∴

三、巧用整体代入法求值

例3、已知，求的值。

分析：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。

解析：由变形得，代入所求式得：

原式

四、巧设参数（辅助未知数）求值

例4、已知实数x、y满足x:y=1:2，则__________。

分析：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。

解析：设，则，，故原式

五、巧用方程（或方程组）求值

例5、已知，，a、b、c均不为0，求的值。

分析：将已知的等式看成方程（或方程组），先用其中的一个字母表示出其他的两个字母，并代入所求的分式进行运算是本题求解的关键。

解析：解方程组，得

∴原式

=

六、巧用变形方法求值

例6、已知，且，则

=______________。

分析：当题目中所提供的式子有等于0的条件出现时，通过把所求分式进行变形，使之出现相应的式子是解答此类问题的关键。

解析：由已知条件可得，，，代入所求式，得：

原式

七、挖掘隐含条件，巧妙求值

例7、若，则=___________。

分析：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。

解析：∵，∴

但考虑到分式的分母不为0，故x=3

所以，原式

八、巧用特值法求值

例8、已知，则=_____________。

分析：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。

解析：此题可直接令x=4，y=5，z=6，代入得：

原式

九、利用倒数法求值

例9、已知，求的值。

分析：在进行某些分式求值时，有时会出现条件或所求分式不易化简变形的问题，但如果把该式的分子、分母颠倒后，变形就会容易了，此类问题通常采用倒数法来解决。在解题时要注意灵活掌握。

解析：原式

∵

∴

 ∵

∴

∴原式=