|
动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住 “动静结合找界点、分类讨论细演算” 。 一、图形的全等 图形经过 “轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。 1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。 2、全等三角形的 判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。 二、试题探究 例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。 例题1图（1） （1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论. 结论：AC⊥CE （证明略） （2）若将△ECD沿CB方向平移， 其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。 例题1图（2） 结论：AC⊥C1E （证明略） 例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。 （1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。 例题2图（1） 结论：BD=AB+DE （证明略） （2）若将两个三角形绕点 C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。 例题2图（2） 结论：BD = AB - ED （证明略） 总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。 三、典型例题 例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。 （1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ； （2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。 例题3图（a） 例题3图（b） 证明：略 。 例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点； （1）求证：MB=MD，ME=MF； （2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。 例题4图 证明：略 。 四、拓展提高 例题5、如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，AD = 3 cm，CE = 2 cm，动点 P从 A 出发以每秒 2 cm 的速度向终点 B 运动，同时动点 Q 也从点 A 出发以每秒 1 cm 的速度向终点 E 运动，设运动的时间为 t 秒 。 （1）连接 DQ ，试求当 t 为何值时，△ADQ 为等腰三角形？ （2）当 t 为何值时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积 。 例题5图（1） 解： （1）∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ DC = AB = 6cm , ∠ADC = 90° ，分三种情况： ①如图 （2）当 AD = AQ = 3 cm 时，此时 t = 3 ; 例题5图（2） ②如图（3）当 DA = DQ 时，过点 D 作 DM⊥AE 于点 M ， 例题5图（3） 在 Rt△ADE 中，AD = 3cm , DE = 4cm, 由勾股定理得：AE = 5 cm 。 由三角形面积公式得：DM = AD ·DE ÷ AE = 12/5 cm 。 在△ADQ 中，AQ = 2AM = 2 × 9/5 = 18/5 cm ，即 t = 18/5 。 ③如图（4）当 QA = QD 时，过点 Q 作 QN⊥AD 于 N ，则 AN = ND = 3/2 。
例题5图（4） ∵ ∠ADC = ∠ANQ = 90° ， ∴ QN ∥ DC ∴ EQ = AQ = 1/2 AE = 5/2 cm，即 t = 5/2 。 综上所述：t 为 3秒或 18/5 秒或 5/2 秒时，△ADQ 为等腰三角形 。 （2）如图（5），连接 AC ，取 AC 的中点 O （AO = OC）
例题5图（5） 当直线 PQ 过点 O 时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积 。 ∵ 四边形ABCD 是矩形 ∴ DC∥AB ，∠OCR = ∠OAP 在 △ROC 和 △POA 中 ∵ ∠RCO = ∠PAO ，OC = OA ，∠ROC = ∠POA ∴ △ROC ≌ △POA （ASA） ∴ CR = AP = 2t ∵ CE = 2 ， ∴ RE = 2t - 2 ， EQ = 5 - t ∵ DC∥AB ∴ △RQE ∽△PQA ∴ RE/AP = EQ/AQ, 即 （2t - 2）/ (2t) = (5-t) /t 解得：t1 = 3 , t2 = 0 （舍去），即 t = 3 秒 ∴ t = 3 秒时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积，此时，点 P 与点 B 重合如图（6）所示 。
例题5图（6） |
|
|
