高中数学：数学填空题的解题方法

一、定义法

有些问题直接解很难，而利用定义去解简单。

例1、的值是_________________。

解：从组合数定义有：

又

代入再求，得出466。

 

例2、到椭圆右焦点的距离与到定直线x＝6距离相等的动点的轨迹方程是_______________。

解：据抛物线定义，结合图1知：

图1

轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数P＝2且开口方向向左的抛物线，故其方程为：

 

二、直接计算法

从题设条件出发，选用有关定理、公式，直接计算求解，这是解填空题最常用的方法。

例3、设函数的定义域是[n，n+1]（），那么在f(x)的值域中共有____________个整数。

解：直接计算，可得个。

例4、等比数列，公比，则：__________。

解：原式

 

三、数形结合法

有些问题可以借助于图示分析、判断、作出定形、定量、定性的结论，这就是图解法。

例5、函数的值域________________。

图2

解：原函数变为，可视上式为x轴上的点P（x，0）到两定点A（-2，-1）和B（2，2）的距离之和，如图2，则。故值域为。

四、特例法

有的填空题答案是一个“定值”时，实质上有一种暗示作用，可以分析特殊数值，特殊位置，特殊数列，特殊图形等来确定这个“定值”。

例6、面积为S的菱形绕其一边所在直线旋转一周所得旋转体的表面积为___________。

解：以正方形代替菱形，设边长为a，则表面

 

例7、已知是公差不为零的等差数形，若S_n是的前n项和，那么_________。

解：取符合条件的特殊数列，，则

故

 

五、观察法

运用特殊值，加上类比、观察解题。

例8、设，且，直线通过定点__________。

解：联合观察：发现时，即满足条件，同时，相交直线的交点是唯一的。故定点是（1，1）。

 

六、淘汰法

当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。

例9、已知，则与同时成立的充要条件是____________。

解：按实数b的正、负分类讨论。

当b>0时，而等式不可能同时成立；

当b＝0时，无意义；

当b<>时，若a<>，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为a>0，b<>，容易验证，这确是所要求的充要条件。

 

七、分析推理法

通过仔细审题，对问题进行逻辑分析，然后推理出符合条件的答案。

例10、已知不等式的解集是A，的解集是B，则不等式组的解集是____________。

解：设g(x)的定义域为S，由于的解集是B，所以的解集是。故所求不等式组的解集是。