2018年中考数学真题赏析「韦达定理」

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

设一元二次方程 中，两根x₁、x₂有如下关系：

，

。

推广

韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

定理：

设 （i=1、2、3、……n）是方程：的n个根，记（k为整数），则有：。

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韦达定理在中考中应用广泛，以下是2018年中考中的部分选择、填空题示例：

（2018年江西中考数学第11题）

一元二次方程x²﹣4x+2=0的两根为x₁，x₂．则x₁²﹣4x₁+2x₁x₂的值为 ．

【答案】2．

【分析】解：∵一元二次方程x²﹣4x+2=0的两根为x₁、x₂，

∴x₁²﹣4x₁=﹣2，x₁x₂=2，

∴x₁²﹣4x₁+2x₁x₂=﹣2+2×2=2．

（2018年潍坊中考数学第11题）

已知关于x的一元二次方程mx²﹣（m+2）x+m/4=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．若1/x₁+1/x₂=4m=4m，则m的值是

A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在

【答案】A．

【分析】解：∵关于x的一元二次方程mx²﹣（m+2）x+m/4=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，

∴m≠0，△=(m+2)²-4m⋅m/4＞0，

解得：m＞﹣1且m≠0．

∵x₁、x₂是方程mx²﹣（m+2）x+m/4=0的两个实数根，

∴x₁+x₂=(m+2)/m，x₁x₂=1/4，

∵1/x₁+1/x₂=4m，

∴((m+2)/m)/(1/4)=4m，

∴m=2或﹣1，

∵m＞﹣1，

∴m=2．

（2018年泸州中考数学第15题）

已知x₁，x₂是一元二次方程x²﹣2x﹣1=0的两实数根，则

的值是 ．

【答案】6．

【分析】解：∵x₁、x₂是一元二次方程x²﹣2x﹣1=0的两实数根，

∴x₁+x₂=2，x₁x₂=﹣1，=2x₁+1，=2x₂+1，