中考数学压轴题进阶训练9三角形中的特殊点

三角形内，存在着一个特殊的点，这个点到到三角形三个顶点距离之和是最小的，这样的点我们称之为费马点，这个最小的距离叫做费马距离。若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点。今天我们就来详细的研究费马点有关的数学问题。

1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点

已知：如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点

2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．

已知：如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点

此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O。如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心

【典型例题1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－6，0），点B的坐标为（6，0），已知点C坐标，延长AC至点D使得CD＝AC，过点DE作DE//AB，交BC的延长线于点E，设G为y轴上的一点，点P从直线y'与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短​？

【典型例题2】A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？​