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基本图形分析法中，将全等三角形分为四类：轴对称型、中心对称型、旋转型、平移型。针对不同的图形，采用不同的基本图形分析方法。今天的例题也是运用轴对称型的分析方法进行解述，不同于以往在三角形中，这次的两道例题都是在正方形中，那么该如何看清图形，添加辅助线？如何明白什么情况下用什么性质？接下来就一起看看吧 例13 如图：5-34，已知：E是正方形ABCD的对角线AC上的一点，CE=CB，过E作EF⊥AC交AB于F，求证：AE=EF=FB。 图5-34 分析：由AC是正方形ABCD的对角线，可得∠CAB=45°，而已知∠AEF=90°，就可得△AFE也是等腰直角三角形，于是AE=EF，从而只要证明EF=BF，由于FE⊥AC，FB⊥BC，所以要证明相等的这两条线段EF、BF就成为F到∠ACB的两边的距离，从而F点就应在∠ACB的角平分线上，或者也就是EF和BF这两条相等线段是关于∠ACB的角平分线成轴对称，从而就可以通过添加轴对称型全等三角形的方法进行证明。由于已知图形中没有对称轴，所以可将对称轴添上，即联结CF（如图5-35）。那么由CE=CB、CF=CF和∠CEF=∠CBF=90°，就可证明△CFE和△CFB全等。 图5-35 本题的分析在证明了AE=EF后，接下来的分析也可从条件CE=CB开始，由于这两条相等的线段具有公共的端点C，所以它们可组成一个等腰三角形，而现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应先将底边添上，也就是联结EB（如图5-36），即可得∠CEB=∠CBE，而已知∠CEF=∠CBF=90°，所以∠FEB=∠FBE，也就可以证明EF=BF。 图5-36 例14 如图5-37，已知：正方形ABCD中，以C为圆心、CB为半径作弧BD，P是弧BD上的一点，PC交以BC为直径的半圆于E，PF⊥AB垂足为F。求证：PE=PF。 图5-37 分析：由条件BC是半圆的直径，所以要应用半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明。由于已知图形中有直径，有半圆上的点E，而没有圆周角，所以应将圆周角添出，即联结BE（如图5-38），得∠BEC=90°，而已知C、E、P成一直线，所以∠BEP=90°，由条件∠BFP=90°，这样要证明相等的这两条线段PE和PF就成为P到∠EBF的两边的距离，P点就应在∠EBF的平分线上，也就是PE和PF这两条相等的线段是关于∠EBF的平分线成轴对称的，从而就可以添加轴对称型的全等三角形进行证明。由于已知图形中没有对称轴，所以可先将对称轴添上，也就是联结BP（如图5-38），然后就应证△BPE和△BPF全等。在这两个三角形中，现在已有BP=BP和∠BEP=∠BFP=90°，所以还需要一个条件。 图5-38 如考虑证∠PBE=∠PBF，则由∠ABC=90°和BC分别是半圆、弧BD的直径和半径，可得AB是弧BD和半圆的切线。而BP、BE分别是过切点的弦，所以可应用弦切角的基本图形的性质进行证明，也就是可分别得到∠FBP=1/2·∠BCP，∠FBE=∠BCE，从而就可以证得∠FBP=∠EBP。（如图5-39） 图5-39 如考虑证∠BPF=∠BPE，则由PF⊥AB，CB⊥AB，可得∠BPF=∠CBP，而由CP=CB，又可得∠BPE=∠CBP，分析也就可以完成。 |
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